lim (1 + (1/n))^n finden ohne ln zu verwenden

Question

Aufgabe:

folgere aus (1 + (1/n))ⁿ ≤  e  ≤  (1+ (1/n))⁽ⁿ⁺¹⁾, dass lim n→∞ (1 + (1/n))ⁿ

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht genau, wie ich den Grenzwert beweisen soll.

Normalerweise würde ich einfach sagen, dass (1 + (1/n))ⁿ =  e^{n*ln(1 + (1/n))} ist, und dann solange umformen, bis e rauskommt. Aber wir haben in der Vorlesung den Logarithmus noch nicht definiert, deshalb "darf" ich das nicht so machen.

Weiß jemand, wie ich den Grenzwert aus der obigen Ungleichung folgern kann?

Comments

Wie habt ihr denn die Zahl \(e\) definiert?

Der linke und der rechte Ausdruck müssen ja gegen irgendeine Darstellung für \(e\) verglichen werden.

---

e = exp(1) = Σ_n=0 ^∞ (1/n!)

Answer 1

(1 + (1/n))^{n + 1} = (1 + (1/n))ⁿ(1 + (1/n)) Für große n nähert sich 1/n null beliebig an. Damit nähert sich der Ausdruck (1  + (1/n)) beliebig nah eins. Und (1 + (1/n))^{n +1}  wird gleich (1 + (1/n))ⁿ(1), was wiederum gleich (1 + (1/n))ⁿ ist.

Comments

Kannst du noch erläutern, was deine Antwort mit der in der Fragestellung vorgenommenen Einschachtelung zu tun hat?

---

Das Intervall wird beliebig klein, bis es im Falle von n gleich unendlich nur noch e enthält, denn dann gilt (1 + (1/n))ⁿ = (1 + (1/n))^{(n + 1)}.