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Aufgabe  . Untersuch mal  für welche \( x \in \mathbb{R} \) die Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} \)
konvergiert. Begründen Sie Ihre Antwort.
2. Untersuch mal  für welche \( x \in \mathbb{R} \) die Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{3^{n}-2^{n}} \)
konvergiert.

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\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} \)

Das ist ja eine Potenzreihe, da gilt für den

Konvergenzradius r (falls der Grenzwert existiert)

\(  r=  \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \)    .

Hier also zu betrachten

\(   \frac{a_n}{a_{n+1}} =  \frac{ \frac{1}{n}}{ \frac{1}{n+1}}=\frac{n+1}{n} \)    

Also Grenzwert 1.  Somit konvergiert die Reihe jedenfalls fü x ∈ ]-1;1[ .

Für die Randpunkt 1 und -1 muss man extra schauen:

Für x=1 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}   \)

Das ist die harmonische Reihe, die konvergiert nicht.

Für x=-1 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}  \)
Das ist die alternierende harmonische Reihe, die konvergiert nach

dem Leibniz-Kriterium.

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