\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} \)
Das ist ja eine Potenzreihe, da gilt für den
Konvergenzradius r (falls der Grenzwert existiert)
\( r= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \) .
Hier also zu betrachten
\( \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{ \frac{1}{n}}{ \frac{1}{n+1}}=\frac{n+1}{n} \)
Also Grenzwert 1. Somit konvergiert die Reihe jedenfalls fü x ∈ ]-1;1[ .
Für die Randpunkt 1 und -1 muss man extra schauen:
Für x=1 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)
Das ist die harmonische Reihe, die konvergiert nicht.
Für x=-1 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \)
Das ist die alternierende harmonische Reihe, die konvergiert nach
dem Leibniz-Kriterium.
