Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders ABCD.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders ABCD.

ein regelmäßiges Tetraeder A B C D mit den Eckpunkten A(0|0| 0), B(10|10| 0), C(10|0| 10) and D(0|10| 10).

$$ \begin{aligned} d_{\left(\bar{D}_i, \bar{E}\right)} & =\frac{\left|n_1 \cdot x+n_2 \cdot z+n_3 \cdot y-d\right|}{\sqrt{\left(n_1\right)^2+\left(n_2\right)^2+\left(n_3\right)^3}} \\ & =\frac{\sqrt{1} \cdot 0-1 \cdot 10-1 \cdot 10+0 \mid}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\frac{|-20|}{\sqrt{3}}=+\frac{20}{3} \cdot \sqrt{3} \end{aligned} $$
Warum sagt mir die Lösung jetzt

$$ \text { Es folgt } V_{\text {Tetraeder }}=\frac{1}{3} \cdot 50 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{20}{3} \cdot \sqrt{3}=\frac{1000}{3} \text { [VE.]. } $$
Ich kenne als Formel für das Volumen eines Tetraeders nur


$$ V=\sqrt{2} \cdot \frac{a^3}{12} $$
Und hab dann raus 181,44 VE

Answer 1

Aloha :)

Das von den 3 Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) und \(\overrightarrow{AD}\) aufgespannte (Spat-)Volumen ist gleich dem Betrag der Deteriminante mit diesen Vektoren als Reihen. Das Volumen des Tetraeders ist \(\frac16\) davon:

$$V=\frac16\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}10 & 10 & 0\\10 & 0 & 10\\0 & 10 & 10\end{array}\right)\right|=\frac{10\cdot10\cdot10}{6}\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\right|$$$$\phantom V=\frac{1000}{6}\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}\pink1 & \pink1 & \pink0\\1\pink{-1} & 0\pink{-1} & 1\pink{-0}\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\right|=\frac{1000}{6}\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & -1 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\right|$$$$\phantom V=\frac{1000}{6}\cdot|-1-1|=\frac{1000}{3}$$

Alternativ zur Determinante kannst du das Volumen auch mit dem Spatprodukt bestimmen:$$V=\frac16\left|\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right)\right|$$

Answer 2

Nach dem nix zu den n_i gesagt wurde, kann man das jetzt aufdröseln wo was hingehört. Oder mit

V=(D-A)⊗(C-A) (B-A)/6

rechnen, was auf V=1000/3 führt.

Wenn man a=|(B-A)| = 10√2 bestimmt, dann führt auch Deine Formel zu letzt genanntem.

Answer 3

Mit deiner Formel erhältst du

V = √2/12·a^3 = √2/12·√(10^2 + 10^2)^3 = 1000/3 = 333.3 VE

also genau die gleiche Lösung wie die Musterlösung angibt.

Comments

Das hab ich nicht verstanden.

Ich hab das so gemacht.

Text erkannt:

\( V=\sqrt{2} \cdot \frac{a^{3}}{12} \)
\( V=\sqrt{2} \cdot \frac{\left(\frac{20}{3} \cdot \sqrt{3}\right)^{3}}{12}=181,44 \)

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Wie hast du den genau die Seitenlange a bestimmt. Das ist z.B. der Abstand vom Punkt A zum Punkt B.

20/3*√3 war die Höhe h des Tetraeders, aber nicht die Seitenlänge a.

Abstände in der Vektorgeometrie werden normalerweise in den ersten paar Stunden durchgenommen.

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Ahja, jetzt wo du es erwähnst. Stimmt ich hab h=a gesetzt.

Also muss ich eine Vektorlänge ausrechnen, das ist dann a und setz ich ein. *vordenkopfschlag*