Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{}$ = $\frac{3^{n}}{4^{n}+5^{n}}$

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, dass ich in dem Fall am besten das Quotientenkriterium verwende. Mein Ansatz sieht also wie folgt aus:

⇒ $\frac{\frac{3^{n+1}}{4^{n+1}+5^{n+1}}}{\frac{3^{n}}{4^{n}+5^{n}}}$

= $\frac{3^{n+1}*(4^{n}+5^{n})}{(4^{n+1}+5^{n+1})*3^n}$

= $\frac{3^{n+1-n}*(4^{n}+5^{n})}{4^{n+1}+5^{n+1}}$

= 3*$\frac{4^{n}+5^{n}}{4^{n+1}+5^{n+1}}$

Leider weiß ich ab da einfach nicht mehr weiter. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie es weiter geht?

Answer 1

Hallo :)

Text erkannt:

$\sum \limits_{n=0}^{n}=\frac{3^{n}}{4^{n}+5^{n}}$
$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{3^{n+1}}{4^{n+1}+5^{n+1}}}{\frac{3^{n}}{4^{n-4}+5^{n}}}=\operatorname{lm}_{n \rightarrow \infty}\right| \frac{8 \cdot 3 / 4^{n}+5^{n}}{4^{n+1}-5^{n+1}} \mid$
$=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 3 \cdot\left|\frac{5^{n}\left(\left(\frac{4}{5}\right)^{n}+1\right)}{\left.5^{n+1}\left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}+1\right)}\right|=\ln \frac{3}{5}$

Comments

Hi :) vielen Dank für deine Antwort! War sehr hilfreich!