Kompaktheit und Abstand einer Menge und Minimum

Question

Aufgabe:

Geben sei die Menge
A := {x + ix²| x ∈ R}
sowie ein Punkt z ∉ A.

Zeigen Sie, dass es einen Punkt a₀ ∈ A gibt, so dass
|z − a₀| = min{|z − a| | a ∈ A} =: d.
Zeigen Sie ferner, dass d > 0 ist und die Funktion A ∋ a ↦ |z−a| jeden Wert in [d, ∞) annimmt.

Problem/Ansatz:

Wir wissen leider nicht, wie diese Aufgabe zu lösen ist.

Answer 1

Die Menge A ist die Menge aller komplexen Zahlen, die die Form x + ix^2 haben, wobei x eine reelle Zahl ist. Ein Punkt z ∉ A bedeutet, dass z keine komplexe Zahl ist, die diese Form hat.

Um den Punkt a0 ∈ A zu finden, der am nächsten zu z liegt, können wir den Abstand zwischen z und allen Punkten in A berechnen und dann den Punkt auswählen, der den geringsten Abstand hat. Der Abstand zwischen z und einem Punkt a ∈ A kann wie folgt berechnet werden:

|z − a| = √((x_z − x_a)^2 + (y_z − y_a)^2)

wobei x_z und y_z die Real- und Imaginärteile von z sind und x_a und y_a die Real- und Imaginärteile von a sind.

Um zu zeigen, dass d > 0 ist, müssen wir zeigen, dass der geringste Abstand zwischen z und einem Punkt a ∈ A größer als 0 ist. Dies kann gezeigt werden, indem man zeigt, dass z und a nicht dieselbe komplexe Zahl sind.

Um zu zeigen, dass die Funktion A ∋ a ↦ |z−a| jeden Wert in [d, ∞) annimmt, müssen wir zeigen, dass es für jeden Wert in diesem Bereich einen Punkt a ∈ A gibt, dessen Abstand zu z diesen Wert hat. Dies kann gezeigt werden, indem man zeigt, dass der Abstand zwischen z und jedem Punkt a ∈ A größer als d ist.

Ich hoffe, dass diese Informationen hilfreich sind und Ihnen eine Idee davon geben, wie Sie mit dieser Aufgabe fortfahren können. Wenn Sie weitere Fragen haben oder mehr Hilfe benötigen, zögern Sie bitte nicht, mich zu fragen.


grüße GustavDerBraune