Polynomfunktion aufgabe mit Lösungsweg wenn möglich

Question

Aufgabe:

…

Text erkannt:

Der Graph einer Polynomfunktion \( f \) vom Grad 3 berührt im Ursprung die 1. Achse. Die Tangente im Punkt \( P=(1 \mid 1) \) hat die Steigung \( -24 \). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion \( f \) und gib die lokalen Extremstellen von \( \mathrm{f} \) an!

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ganz wie ich auf alle Punkte kommen

Answer 1

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0)=0
f'(0)=0
f(1)=1
f'(1)=-24

Gleichungssystem

d = 0
c = 0
a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = -24

Errechnete Funktion

f(x) = -26·x^3 + 27·x^2

Skizze

~plot~ -26x^3+27x^2;-24*(x-1)+1;{1|1};[[-1|2|-1|5]] ~plot~

Comments

wie kommt man auf F'(0)=0

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Da der Graph im Ursprung die x-Achse beruhrt muß die Steigung dort Null sein.

Berühren bedeutet gleicher Funktionswert und gleiche Steigung.

Answer 2

"Der Graph einer Polynomfunktion \( f \) vom Grad 3 berührt im Ursprung die 1. Achse. Die Tangente im Punkt \( P=(1 \mid 1) \) hat die Steigung \( -24 \). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion \( f \) und gib die lokalen Extremstellen von \( \mathrm{f} \) an!"

1.) berührt im Ursprung die 1. Achse: ist eine doppelte Nullstelle

\(f(x)=a*x^2*(x-N)=a*x^3-a*N*x^2\)

2.)\( P=(1 \mid 1) \) :

\(f(1)=a*1^3-a*N*1^2=a-a*N=1\)→ \(N=\frac{a-1}{a}\)

\(f(x)=a*x^3-a*\frac{a-1}{a}*x^2=a*x^3-(a-1)*x^2\)

3.) Steigung der dort liegenden Tangente ist \(m=-24\)

\(f´(x)=3*a*x^2-(a-1)*2*x\)

\(f´(1)=3*a*1^2-(a-1)*2*1=3a-2a+2=-24\)         \(a=-26\)     \(N=\frac{-26-1}{-26}=\frac{27}{26}\)

\(f(x)=-26*x^2*(x-\frac{27}{26})\)