i) (leere Menge)∈H , weil (a;a) = leere Menge.
ii) A∩B in H. Seien A=(a,b] und B = (c,d] | a,c∈ℝ,b∈ℝ≥a, d∈ℝ≥c .
1. Fall: a=c. ==> A∩B = ( a, min(b,d) ] und wegen b≥a und d≥a
gilt auch min(b,d) ≥a , also A∩B in H.
2. Fall: a≠c. oBdA a<c.
1. Unterfall: b<c. Dann A∩B =∅, also in H.
2. Unterfall: b≥c. Dann A∩B =(a,min(b,d)] also in H.
iii) die Differenz A\B als endliche disjunkte Vereinigung von Mengen
aus H geschrieben werden kann.
Auch hier wieder die Fälle unterscheiden, etwa :
1.Fall: a=c:
1.Unterfall b≤d: Dann A\B=∅, also in H.
2.Unterfall b>d: Dann A\B=(d,b], also in H.
2.Fall: a<c.
1.Unterfall b≤c: Dann A\B=A, also in H.
2.Unterfall c<b≤d Dann A\B=(a,c], also in H.
3.Unterfall b>d Dann A\B=(a,c] ∪ (d,b] also
endliche disjunkte Vereinigung von Mengen aus H.
etc. alle Fälle durchgehen.