Zeige, dass H ein Halbring ist.

Question

Sei H:= {(a,b] | a∈ℝ,b∈ℝ_≥a}.

Zeige, dass H ein Halbring ist.

H wird Halbring genannt, wenn (leere Menge)∈H gilt und mit zwei A,B∈H der schnitt A∩B in H liegt und die Differenz A\B als endliche disjunkte Vereinigung von Mengen aus H geschrieben werden kann.

Answer 1

i) (leere Menge)∈H , weil (a;a) =  leere Menge.

ii) A∩B in H. Seien A=(a,b] und B = (c,d] | a,c∈ℝ,b∈ℝ≥a, d∈ℝ≥c .

1. Fall: a=c. ==>  A∩B = ( a, min(b,d) ] und wegen b≥a und  d≥a
             gilt auch min(b,d) ≥a  , also A∩B in H.

2. Fall: a≠c. oBdA a<c.

              1. Unterfall: b<c. Dann   A∩B =∅, also in H.

              2. Unterfall: b≥c. Dann A∩B =(a,min(b,d)]    also in H.

iii) die Differenz A\B als endliche disjunkte Vereinigung von Mengen
       aus H geschrieben werden kann.

Auch hier wieder die Fälle unterscheiden, etwa :

1.Fall: a=c:

     1.Unterfall b≤d: Dann  A\B=∅, also in H.
     2.Unterfall b>d: Dann A\B=(d,b], also in H.

2.Fall: a<c.

      1.Unterfall b≤c: Dann A\B=A, also in H.
      2.Unterfall c<b≤d  Dann A\B=(a,c], also in H.
      3.Unterfall   b>d Dann A\B=(a,c] ∪ (d,b]  also
                  endliche disjunkte Vereinigung von Mengen aus H.

etc. alle Fälle durchgehen.