Beweisen oder widerlegen Zuordnung/lineare Abbildung

Question

Die Zuordnung
\( \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \frac{3}{2} \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
lässt sich zu einer linearen Abbildung \( f: V_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}) \) fortsetzen.

Guten Morgen oder Abend,

kann mir wer bitte zeigen wie ich die obige Aufgabe beweisen oder widerlegen kann. LG

Answer 1

Seien \(v_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) ,\; v_2=\left(\begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 4 \\ 0 \end{array}\right),\; v_3=\left(\begin{array}{l} \frac{3}{2} \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)  \),

dann gilt: \(v_1+v_2=v_3\). Dann muss für

eine lineare Abbildung \(f\) auch \(f(v_1)+f(v_2)=f(v_3)\) sein.

Es ist aber \({2 \choose 3}+{4 \choose 1}\neq {0 \choose 0}\)

Comments

eine Frage aus \(v_1+v_2=v_3\) -> folgt, dass \(f(v_1)+f(v_2)=f(v_3)\)

also aus f : V3(R) → V2(R) gilt logisch: \(f(v_1)+f(v_2)=f(v_3)\)

aber \(f(v_1)=f(v_2)+f(v_3)\) sollte das auch so gelten? oder nicht?

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\(v_1\) ist nicht \(=v_2+v_3\), warum sollte das also gelten?

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wieso sollte, dann aber \(v_1+v_2=v_3\). gelten? die drei vektoren stehen ja so random da oder überseh ich was, wieso 1 und 2 unbedingt zu 3 addieren sollte? -> was halt ja nicht geht, weshalb es es ja widerlegt, aber ich sehe nicht das wieso :c

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wieso sollte, dann aber \(v_1+v_2=v_3\). gelten?

Ich verstehe nicht, was du mir sagen willst. Die Vektoren,
um die es hier geht, und deren Bilder sind doch fest vorgegeben!

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ne, schau nochmal

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 3\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l}\frac{1}{2} \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l}\frac{3}{2} \\ 3 \\ 3\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)

das sind zwar alles v`s aber da steht nicht welches welches ist, aber klar wäre logisch, dass das erste v1 usw. ist

aber wieso gilt dann \(v_1+v_2=v_3\) , also wieso muss unbedingt, der erste Vektor zsm addiert mit dem 2. den dritten ergeben?

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Das liegt daran, dass ich die Namensvergabe so
vorgenommen habe. Dadurch kann ich auf die Vektoren Bezug nehmen,
ohne dass ich sie immer wieder explizit angeben muss.

Natürlich hätte ich sie auch Anna, Otto und Fritz nennen können.

aber wieso gilt dann \(v_1+v_2=v_3\) , also wieso muss unbedingt, der erste Vektor zsm addiert mit dem 2. den dritten ergeben?

Weil das bei diesen vorgegebenen Vektoren so ist !

Natürlich könnte das auch anders sein! Es soll aber konkret
bei dieser Aufgabe gezeigt werden, dass es keine solche
lineare Abbildung geben kann.

Answer 2

Das geht genau dann, wenn die Vektoren

\(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) , \quad\left(\begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) , \quad\left(\begin{array}{l} \frac{3}{2} \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)  \)

linear unabhängig sind und also eine Basis von \( V_{3}(\mathbb{R}) \) bilden.

Comments

Die von dir genannte Bedingung ist nur hinreichend,
aber nicht notwendig.

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Danke, sehe ich ein.