$$ \Vert a \times b \Vert^2= \langle a \times b , a \times b \rangle = <a,a><b,b> - <a,b>^2 = \Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2(1-\frac{<a,b>^2}{\Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2} )... $$
Dann mit dem quadrierten Kosinussatz erhalten wir
$$<a,b>^2= \Vert a \Vert^2 \Vert b \Vert^2 cos(\phi)^2 $$
Setzen wir es in das da oben:
$$ ...=\Vert a\Vert^2\Vert b \Vert^2(1- cos(\phi)^2)=\Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2 sin(\phi)^2$$
Wurzel ziehen.
Da wir durch die Längen geteilt haben, müsste noch die b) o.E.d.A. für a = 0 gezeigt werden, das ist aber offensichtlich.