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Aufgabe:

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Text erkannt:

a) Beweisen Sie für \( a, b, c, d \in \mathbb{R}^{3} \) :
\( \langle a \times b, c \times d\rangle=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} \langle a, c\rangle & \langle a, d\rangle \\ \langle b, c\rangle & \langle b, d\rangle \end{array}\right) \)
b) Beweisen Sie für \( a, b \in \mathbb{R}^{3} \) und den Winkel \( \varphi \) zwischen \( a \) und \( b \) :
\( \|a \times b\|=\|a\| \cdot\|b\| \cdot \sin (\varphi) \)
Tipp: Nutzen Sie Aufgabenteil a), den Zusammenhang von Norm und Skalarprodukt sowie den Zusammenhang \( \sin ^{2}(\varphi)+\cos ^{2}(\varphi)=1 \).


Problem/Ansatz:

Wie kann ich den tipp für die a) benutzen?

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$$ \Vert a \times b \Vert^2= \langle a \times b , a \times b \rangle = <a,a><b,b> - <a,b>^2 = \Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2(1-\frac{<a,b>^2}{\Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2} )... $$

Dann mit dem quadrierten Kosinussatz erhalten wir
$$<a,b>^2=  \Vert a \Vert^2 \Vert b \Vert^2 cos(\phi)^2  $$

Setzen wir es in das da oben:

$$ ...=\Vert a\Vert^2\Vert b \Vert^2(1- cos(\phi)^2)=\Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2 sin(\phi)^2$$

Wurzel ziehen.


Da wir durch die Längen geteilt haben, müsste noch die b)  o.E.d.A. für a = 0 gezeigt werden, das ist aber offensichtlich.



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Und ist die a) pures ausrechnen?

Ja, beiden Seiten einzeln ausrechnen in den Vektorkomponenten und sicherstellen, dass die gleich sind. Fällt mir nichts besseres ein.

Okay danke. Kannst du mir vielleicht noch den schritt oben erklären wo ich den kosinussatz einsetzen soll?

Ist es jetzt klarer?

Ja habs hinbekommen war eigentlich auch offensichtlich wie du geschrieben hast. danke dir für die Hilfe oben

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