Beweisen Sie für a,b,c,d

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

a) Beweisen Sie für \( a, b, c, d \in \mathbb{R}^{3} \) :
\( \langle a \times b, c \times d\rangle=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} \langle a, c\rangle & \langle a, d\rangle \\ \langle b, c\rangle & \langle b, d\rangle \end{array}\right) \)
b) Beweisen Sie für \( a, b \in \mathbb{R}^{3} \) und den Winkel \( \varphi \) zwischen \( a \) und \( b \) :
\( \|a \times b\|=\|a\| \cdot\|b\| \cdot \sin (\varphi) \)
Tipp: Nutzen Sie Aufgabenteil a), den Zusammenhang von Norm und Skalarprodukt sowie den Zusammenhang \( \sin ^{2}(\varphi)+\cos ^{2}(\varphi)=1 \).

Problem/Ansatz:

Wie kann ich den tipp für die a) benutzen?

Answer 1

$$ \Vert a \times b \Vert^2= \langle a \times b , a \times b \rangle = <a,a><b,b> - <a,b>^2 = \Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2(1-\frac{<a,b>^2}{\Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2} )... $$

Dann mit dem quadrierten Kosinussatz erhalten wir
$$<a,b>^2=  \Vert a \Vert^2 \Vert b \Vert^2 cos(\phi)^2  $$

Setzen wir es in das da oben:

$$ ...=\Vert a\Vert^2\Vert b \Vert^2(1- cos(\phi)^2)=\Vert a \Vert^2\Vert b \Vert^2 sin(\phi)^2$$

Wurzel ziehen.

Da wir durch die Längen geteilt haben, müsste noch die b)  o.E.d.A. für a = 0 gezeigt werden, das ist aber offensichtlich.

Comments

Und ist die a) pures ausrechnen?

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Ja, beiden Seiten einzeln ausrechnen in den Vektorkomponenten und sicherstellen, dass die gleich sind. Fällt mir nichts besseres ein.

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Okay danke. Kannst du mir vielleicht noch den schritt oben erklären wo ich den kosinussatz einsetzen soll?

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Ist es jetzt klarer?

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Ja habs hinbekommen war eigentlich auch offensichtlich wie du geschrieben hast. danke dir für die Hilfe oben