Sei \( L \) die Länge des Seils, dann gilt \( L = 4a + 2r \pi \)
Die Fläche ist dann \( F = a^2 + r^2 \pi \)
Aus der ersten Gleichung für die Seillänge ergibt sich, das \( r = \frac{L - 4a}{2 \pi} \) gilt. Das in die Flächenformel eingesetzt ergibt und die erste Ableitung nach \( a \) bilden ergibt
$$ F'(a) = 2a - \frac{2L - 8a}{\pi} $$ Die Nullstelle der ersten Ableitung ergibt
$$ a = \frac{L}{4 + \pi} $$ und daraus ergibt sich $$ r = \frac{L}{2(4+\pi}) = \frac{a}{2} $$
Und für die zweite Ableitung gilt $$ F''(a) = \frac{8}{\pi} + 2 > 0 $$ deshalb ist $$ r = \frac{a}{2} $$
die Lösung für das MInimierungsproblem.
Die Fläche kann man durch einsetzten von \( r \) auch schreiben als
$$ F = \frac{4+\pi}{\pi} \left( a - \frac{L}{4+\pi} \right)^2 + \frac{L^2}{4(4+\pi)} $$
Auch hieraus kann man den Miimalwert \( a = \frac{4}{4+\pi} \) ablesen. DSie Fläche wird durch eine nach oben geöffnete Parabel beschrieben als Funktion von \( a \). D.h. die Maxima werden an den Rändern angenommen. \( a \) muss im Intervall \( \left( 0 , \frac{L}{4} \right) \) liegen.
$$ F(0) = \frac{L^2}{4 \pi} $$ und $$ F\left( \frac{L}{4} \right) = \frac{L^2}{16} $$ und $$ F(0) > F\left( \frac{L}{4} \right) $$
Deshalb wird das Maximum bei \( a = 0 \) angenommen.
