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Ein Draht wird in zwei Teile geteilt. Aus dem einen Teil wird ein Quadrat geformt und aus dem anderen ein Kreis. Wie groß muss das Kreis-Teilstück sein, damit der Flächeninhalt von beiden (Quadrat und Kreis) minimal bzw. maximal wird?

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Steht in der Aufgabe, wie lang der Draht ist?

Nein steht nicht dabei.

Steht in der Aufgabe, wie lang der Draht ist?

diese Info ist nicht nötig. Der Flächeninhalt wird maximal, wenn aus dem Draht nur der Kreis geformt wird und minimal, wenn der Durchmesser des Kreises gleich der Seitenlänge des Quadrats ist.

D.h. um die Frage zu beantworten:


maximal:

Flächeninhalt eines Quadrats = 0 + Flächeninhalt eines Kreises

--> Flächeninhalt Draht max. = pi * r^2


minimal:

a = Seitenlänge Quadrat, 2r = Durchmesser Kreis

2r = a → r = a/2

--> Damit der Flächeninhalt von beiden (Quadrat und Kreis) minimal ist, muss das Stücl für den Kreis den Radius r = a/2 besitzen, wobei a die Seitenlänge des Quadrats darstellt.

Stimmt das so?

Stimmt das so?

Ja - siehe auch Antwort von ullim

1 Antwort

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Sei \( L \) die Länge des Seils, dann gilt \( L = 4a + 2r \pi \)

Die Fläche ist dann \( F = a^2 + r^2 \pi \)

Aus der ersten Gleichung für die Seillänge ergibt sich, das \( r = \frac{L - 4a}{2 \pi} \) gilt. Das in die Flächenformel eingesetzt ergibt und die erste Ableitung nach \( a \) bilden ergibt

$$ F'(a) = 2a - \frac{2L - 8a}{\pi} $$ Die Nullstelle der ersten Ableitung ergibt

$$  a = \frac{L}{4 + \pi} $$ und daraus ergibt sich $$ r = \frac{L}{2(4+\pi}) = \frac{a}{2} $$

Und für die zweite Ableitung gilt $$ F''(a) = \frac{8}{\pi} + 2 > 0 $$ deshalb ist $$ r = \frac{a}{2} $$

die Lösung für das MInimierungsproblem.

Die Fläche kann man durch einsetzten von \( r \) auch schreiben als

$$ F = \frac{4+\pi}{\pi} \left( a - \frac{L}{4+\pi} \right)^2 +  \frac{L^2}{4(4+\pi)} $$

Auch hieraus kann man den Miimalwert \( a = \frac{4}{4+\pi} \) ablesen. DSie Fläche wird durch eine nach oben geöffnete Parabel beschrieben als Funktion von \( a \). D.h. die Maxima werden an den Rändern angenommen. \( a \) muss im Intervall \( \left( 0 , \frac{L}{4} \right) \) liegen.

$$ F(0) = \frac{L^2}{4 \pi} $$ und $$ F\left( \frac{L}{4} \right) = \frac{L^2}{16} $$ und $$ F(0) >  F\left( \frac{L}{4} \right)  $$

Deshalb wird das Maximum bei \( a = 0 \) angenommen.

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