uneigentliche Integrale bestimmen, Konvergenz überprüfen.

Question

Hallo an alle!

Aufgabe: konvergieren die folgenden uneigentliche Integrale?

i)
\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{4} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x=\int \limits_{-2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u=-\left.\frac{1}{u}\right|_{-2} ^{2} & =-\frac{1}{2}+\frac{1}{(-2)} \\ & =-\frac{2}{2}=-1 \\ & \Rightarrow \text { kon vergent } \end{aligned} \)
\( \begin{array}{lll} u=x-2 & \text { Granzen: } & u_{2}=2 \\ \frac{d u}{d x}=1 & u_{1}=-2 \\ d u=d x & & \end{array} \)
Andere Variante:
\( \int \limits_{0}^{4} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x=\lim \limits_{a \rightarrow 0} \int \limits_{a}^{4} \frac{1}{\mu^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Habe ich hier richtig gerechnet? Muss ich da nicht für 0=c einsetzen, also die untere Variante? Oder passt die obige Rechnung so? Denn man kann ja durch 0 nicht teilen, daher sollte man ja statt der 0 eine Variable bspw. c einsetzen, denke ich da richtig?

Comments

Kleiner Tipp. Grundsätzlich nie über Pole hinweg integrieren. Immer aufsplitten.

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Achso, okay. Meinst du das bspw. so: A/(x-2) + B/(x-2)^2 ?

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Wenn ein Pol im Integrationsintervall liegt, muss man das Integrationsintervall am Pol aufsplitten und die Integrale getrennt betrachten.

Answer 1

Hallo,

Das Integral divergiert.

Comments

Muss man hier die Grenzen nicht anpassen, also die Grenzen in z einsetzen? Wenn nein, warum nicht?

Und danke für deine Erklärung :)

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nein, beide Wege sind richtig. Wenn der Prof es so will, dann mach es auch so.

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Alles klar, du hast ja dann wieder eingesetzt, deswegen braucht man die Grenzen nicht anpassen.

Aber ich bekomme sowas raus:

i) \( \int \limits_{0}^{4} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x=\int \limits_{0}^{2} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x+\int \limits_{2}^{4} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x \)
\( z=x-2|| \int \frac{1}{z^{2}} d z=-\frac{1}{z} d z \)
\( \frac{d z}{d x}=1 \)
\( d z=d x \| z^{-2+1}=-z \)
\( =\int \limits_{0}^{2}-\frac{1}{z} d z=-\left.\frac{1}{x-2}\right|_{0} ^{2}+\left.\left(-\frac{1}{x-2}\right)\right|_{2} ^{4}= \)
\( =\left(-\frac{1}{2-2}+\frac{1}{0-2}\right)+\left(-\frac{1}{4-2}+\frac{1}{\left.\frac{2}{2-2}\right)}\right. \)
\( -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{2}{2}=-1 \)

-1/2-2 ist ja nicht definiert, heißt das dann, dass das gesamte Ergebnis nicht definiert ist?

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Du bekommst an 2 Stellen -1/0 = - ∞ , damit konvergiert das Integral nicht.

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Achso, dann ist es auch egal, ob zwei mal  -1/2 steht? Wenn in der Rechnung einmal sowas wie -1/0 steht, dann konvergiert das Integral nicht, richtig?

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Ja , so ist es.

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Alles klar, danke dir vielmals Grosserloewe!!

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Groesserloewe, haben wir hier nicht einen Fehler? Müsste da nicht sowas rauskommen?

Wir haben ja -∞ +∞ und das hebt sich ja weg

\( \begin{array}{l}\text { i) } \int \limits_{0}^{4} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x=\lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}} \int \limits_{a}^{4} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[-\frac{1}{x-2}\right]_{0}^{b}+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[-\frac{1}{x-2}\right]_{a}^{4}= \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[-\frac{1}{b-2}+\frac{1}{0-2}\right]+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[-\frac{1}{2}+\frac{1}{a-2}\right] \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[-\infty-\frac{1}{2}\right]+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[-\frac{1}{2}+\infty\right]= \\ -\infty-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\infty=-\frac{2}{2}=-1\end{array} \)

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hier das Ergebnis von Wolfram Alpha , ich habe das Ganze oben gerechnet:

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Ja bei mir kommt das auch raus, wenn ich die rechnung in den rechner eintippe, aber wieso? Was ist an meiner Berechnung falsch? Kannst du mir genau sagen wo der Fehler ist?

Schau so habe ich's gerechnet und da kommt folgendes raus:

\( \begin{array}{l}\text { i) } \int \limits_{0}^{4} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x=\lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}} \int \limits_{a}^{4} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[-\frac{1}{x-2}\right]_{0}^{b}+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[-\frac{1}{x-2}\right]_{a}^{4}= \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[-\frac{1}{b-2}+\frac{1}{0-2}\right]+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[-\frac{1}{2}+\frac{1}{a-2}\right] \\ \lim \limits_{b \rightarrow 2^{-}}\left[-\infty-\frac{1}{2}\right]+\lim \limits_{a \rightarrow 2^{+}}\left[-\frac{1}{2}+\infty\right]= \\ -\infty-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\infty=-\frac{2}{2}=-1\end{array} \)

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Du darfst nicht minus Unendlich mit plus Unendlich aufheben, da keine Zahlen.

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Achso, alles klar, aber das mit dem Vorzeichen stimmt schon, oder? Also 1x kommt da - unendlich und 1x + unendlich.

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Und was muss ich dann als Ergebnis hinschreiben? Es divergiert zwar, aber soll ich dann als Lösung einfach ∞ hinschreiben?

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aber das mit dem Vorzeichen stimmt schon, oder? Also 1x kommt da - unendlich und 1x + unendlich.

Das stimmt, kommt aber nur deshalb, weil du einmal von oben und einmal von unten kommst, die Fläche ist in beiden Fällen positiv und unendlich.

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Alles klar, aber was soll ich dann als Ergebnis hinschreiben, das unendlich Zeichen? Oder nichts hinschreiben und so stehen lassen?

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Ich würde schreiben: Das Integral ist divergent, die Fläche unendlich.

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Und wenn ich einfach als Endergebnis ∞ hinschreiben würde, wäre das so falsch?

Und danke für deine Rückmeldung.

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Vermutlich nicht.

Wie macht ihr das denn sonst?

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Wir schreiben einfach, dass es nicht definiert ist. Wir haben bis jetzt noch nie das Ergebnis bei divergenten Integralen hingeschrieben. Ich frage sicherheitshalber nur.

Aber danke dir für deine Antwort :)