Zu der Automorphismengruppe Beweis liefern

Question

Aufgabe:

K Körper, V ist K-Vektorraum.

Es ist zu zeigen, dass Menge der Automorphismen von V Aut(V) zusammen mit der Komposition von Abbildungen "_°" als Verknüpfung eine Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Kann jemand helfen oder einen Ansatz erklären?

Answer 1

Ein Automorphismus von V ist ein bijektiver Homomorphismus von V nach V.

Damit (Aut(V),o) als Gruppe nachgewiesen ist, zeige die Gültigkeit der

Gruppenaxiome:

i)   (Aut(V),o) ist abgeschlossen, weil die Komposition von Automorphismen
               wieder ein Automorphismus ist.

ii)  o ist assoziativ, weil Komposition von Abbildungen das immer ist.

iii)   id_V ∈ Aut(V) ist das neutrale Element.

iv) Jeder Automorphismus f besitzt eine Umkehrabbildung, die auch wieder
ein Automorphismus ist, das ist das zu f inverse Element.

Answer 2

Zur Ergänzung hier eine andere Sicht auf Aut(V):

Wenn man bereits weiß, dass die Menge End(V) der Endomorphismen

bzgl. + und \(\circ\) einen unitären Ring bildet, dann kann man so

argumentieren:

Aut(V) ist die Menge der Einheiten (invertierbaren Elemente) von End(V).

Die Einheiten eines Ringes mit Eins bilden immer eine Gruppe.