Zeigen Sie, dass Aut(G) bezüglich der Komposition eine Gruppe ist; sie heißt die Automorphismengruppe

Question

Aufgabe:

Ein Automorphismus einer Gruppe G ist ein Gruppenisomorphismus ϕ : G → G. Es sei
Aut(G) := {ϕ : G → G | ϕ ist Automorphismus}.
(a) Zeigen Sie, dass Aut(G) bezüglich der Komposition eine Gruppe ist; sie heißt die Automorphismengruppe
von G.
(b) Bestimmen Sie die Automorphismengruppe der „Kleinschen Vierergruppe“ G = Z2 × Z2.

Answer 1

a) Aut(G) ist bezüglich der Komposition abgeschlossen ; denn die Verknüpfung zweier Automorphismen gibt wieder einen.

assoziativ ist die Komposition von Abbildungen immer.

Das neutrale Element ist die Identität .

Und weil jeder Automorphismus bijektiv ist, hat jedes Element

ein Inverses.

b) Ein Automorphismus der Kleinschen Vierergruppe muss die Ordnungen der Gruppenelemente fest lassen, kann also höchstens die drei Elemente der Ordnung 2 permutieren. Tatsächlich ist jede Abbildung, die fest lässt und permutiert, ein Automorphismus. Das liegt daran, dass die Verknüpfung auch so beschrieben werden kann, dass das Produkt von zwei gleichen Elementen der Ordnung 2 gleich dem neutralen Element ist und das Produkt von zwei verschiedenen Elementen der Ordnung 2 das jeweils dritte Element der Ordnung 2 ist, und das bleibt bei Permutationen der Elemente der Ordnung 2 erhalten. Daher ist die Automorphismengruppe von isomorph zu symmetrischen Gruppe S3.