Wie löst man folgende Aufgabe zur Normalverteilung?

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt Kondensatoren her, deren Kapazität normalverteilt ist mit \( \mu=100(\mathrm{pF}) \) und \( \sigma=0,2 \). Wie viel Prozent Ausschuss \( \operatorname{sind} \) zu erwarten, wenn die Kapazität der Kondensatoren

a) mindestens \( 99,8 \mathrm{pF} \);

b) höchstens \( 100,6 \mathrm{pF} \) betragen soll;

c) um maximal 0,3 pF vom Sollwert \( 100 \mathrm{pF} \) abweichen darf?

d) Wie muss man die Toleranzgrenzen \( 100+\mathrm{C} \) und 100-C wählen, damit man genau \( 5 \% \) Ausschuss erhält?

e) Wie ändert sich der Ausschussprozentsatz für die in Frage d) bestimmten Toleranzgrenzen, wenn sich \( \mu \) nach 100,1 verschiebt?

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgabe ?

Answer 1

Wie löst man diese Aufgabe ?

Ich würde es wie in der Aufgabe vorgeschlagen mit der Normalverteilung machen. Wo liegen dabei denn die Probleme?

a)

P(X ≥ 99.8) = 1 - Φ((99.8 - 100)/0.2) = 0.8413

Comments

hi ich bräuchte hierbei Hilfe bei der d) und e) :D

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@Mathecoach: Es wird ja nach dem Anteil Ausschuss gefragt, nicht nach dem Anteil guter Kondensatoren.

@Sputnik: Das sind 100 pF:

 

Answer 2

a) Die guten Kondensatoren haben eine Kapazität von Mittelwert minus 1 Standardabweichung bis unendlich. In der Standardnormalverteilungstabelle findest Du dazu die Wahrscheinlichkeit 0,84134. Anteil Ausschuss = 1 - 0,84134 = 15,866 %.

b) Die guten Kondensatoren haben eine Kapazität von minus unendlich bis Mittelwert plus 3 Standardabweichungen. In der Standardnormalverteilungstabelle findest Du dazu die Wahrscheinlichkeit 0,99865. Anteil Ausschuss = 1 - 0,99865 = 0,135 %.

c) Die guten Kondensatoren haben eine Kapazität von Mittelwert plusminus 1,5 Standardabweichungen. In der Standardnormalverteilungstabelle findest Du dazu die Wahrscheinlichkeit 0,93319. Anteil Ausschuss = 2 * (1 - 0,93319) = 13,362 %.

d) Die guten Kondensatoren haben ihre untere Grenze bei 0,025 Verteilungsfunktion und ihre obere Grenze bei 0,975. In der Standardnormalverteilungstabelle findest Du dazu 1,96 Standardabweichungen. Kapazität = 100 ± 1,96 * 0,2

e) Die guten Kondensatoren haben eine Kapazität von Mittelwert minus (1,96 + 0,5) bis Mittelwert plus (1,96 - 0,5) Standardabweichungen. In der Standardnormalverteilungstabelle findest Du dazu die Wahrscheinlichkeiten 0,99305 und 0,92785. Anteil Ausschuss = 1 - 0,99305 + 1 - 0,92785 = 7,91 %.

Erkennen sollte man, dass es keine negativen Kapazitäten gibt. Die Differenz dürfte allerdings verschwindend klein sein, weil 0 Picofarad 500 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt.

Comments

Noch zu meiner Bemerkung im letzten Abschnitt:

Bei d) siehst Du, dass Kapazitäten von < 99,608 pF eine Wahrscheinlichkeit von 2,5 % haben. Das bedeutet, das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte von minus unendlich bis 99,608 ist gleich 0,025.

Davon abziehen müsste man noch das Integral von minus unendlich bis null, weil es keine negativen Kapazitäten gibt.

Jenes ist aber nur etwa 1,2 ⋅ 10^-54290. Das sind 0,<54287 Ziffern 0>12 %. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem zufällig aus dem Universum herausgepickten Atom genau ein bestimmtes, gesuchtes Atom zu picken, ist erheblich höher, der Fehler bei der Verwendung der Verteilungsfunktion, die bei minus unendich anfängt und nicht bei null, also sehr klein.