Folgern, dass es keine Konstante gibt

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie für \( n \in \mathbf{N} \) die Funktionen \( f_{n} \in C[0,1] \) mit \( f_{n}(x)=x^{n} \). Bestimmen Sie \( \left\|f_{n}\right\|_{\infty} \) und \( \left\|f_{n}\right\|_{1} \). Folgern Sie dass es keine Konstante \( c \) geben kann mit \( \|f\|_{\infty} \leq c\|f\|_{1} \) für alle \( f \in C[0,1] \).

Bemerkung: Auf \( C[0,1] \) können somit nicht alle Normen äquivalent sein.

Problem/Ansatz:

Habe gesehn, dass jemand die selbe Aufgabe gestellt hat, nur gab es dazu keine Antwort. Wäre sehr hilfreich, wenn mir jemand bei der Lösung ausführlich helfen kann.

Comments

Es gab damals keine Antwort, weil Fragesteller kein Interesse hatte. Ich hatte gefragt, ob er / sie schon die Definition von \(\|f\|_1\) bzw. \(_{\infty}\) nachgeschaut hatte.