Bestimmen Sie das Volumen des von den beiden Flächen eingeschlossenen Körpers

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Volumen des von den beiden Flächen

\( \begin{aligned} z & =1+x^{2}+4 y^{2}, \\ z^{2} & =4 x^{2}+16 y^{2}, \end{aligned} \)
eingeschlossenen Körpers in der Halbebene \( z \leq 2 \).

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe: Grundlegend hatte ich angefangen die beiden Flächenstücke zu parametrisieren und anschließend überlegt evtl. die innere von der äußeren zu subtrahieren. Ich komme jedoch leider nicht wirklich weiter.

Würde mich über jede Hilfe freuen.

Casio991

Comments

Im Raum ℝ³ beschreibt die Ungleichung  z ≤ 2  nicht eine Halbebene, sondern einen Halbraum.

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen das Volumen zwischen zwei Flächen bestimmen:$$F_1\colon \red{z_1(x;y)=1+x^2+4y^2}\quad\text{ und }\quad F_2\colon \green{z_2(x;y)=\pm\sqrt{4x^2+16y^2}}$$Beide Flächen schließen nur dann ein Volumen ein, wenn sie sich entlang einer Kurve schneiden. Zur Bestimmung dieser Schnittkurve bilden wir die Differenz beider Flächen$$(z_1-z_2)(x;y)=\red{1+x^2+4y^2}\mp\green{2\sqrt{x^2+4y^2}}=(1\mp\sqrt{x^2+4y^2})^2$$und stellen fest, dass es nur für \(\green{z_2(x;y)}\ge0\) eine Schnittkurve gibt, weil ansonsten die Differenz nicht verschwindet.

Die Schnittkurve \(\sqrt{x^2+4y^2}=1\) ist der Rand des Gebietes \(\sqrt{x^2+4y^2}\le1\), über das wir nun die Differenz der beiden Flächen integrieren müssen:$$V=\!\!\!\iint\limits_{\sqrt{x^2+4y^2}\le1}\!\!\!\left(1-\sqrt{x^2+4y^2}\right)^2dx\,dy$$

Zur Berechnung des Integrals brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der alle Punkte des Integrations-Gebietes abtastet. Dazu formulieren wir die Bedingungsgleichung für das Gebiet um$$\sqrt{x^2+4y^2}\le1\implies x^2+4y^2\le1\implies\left(\frac x2\right)^2+y^2\le\left(\frac12\right)^2$$und wählen folgende Polarkoordinaten-Darstellung für seine Beschreibung:$$\binom{x}{y}=\binom{2r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in\left[0\bigg|\frac12\right]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Durch den Koordinatenübergang \((x;y)\to(r;\varphi)\) wird das Flächenelment verzerrt:$$dx\,dy=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi}\\[1ex]\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}\end{vmatrix}\,dr\,d\varphi=\begin{vmatrix}2\cos\varphi & -2r\sin\varphi\\[1ex]\sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}\,dr\,d\varphi=2r\,dr\,d\varphi$$Damit können wir nun das Integral für das Volumen umformulieren und ausrechnen:$$V=\int\limits_{r=0}^{\frac12}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(1-\sqrt{(2r\cos\varphi)^2+4(r\sin\varphi)^2}\right)^2\,2r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom V=\int\limits_{r=0}^{\frac12}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(1-2r\right)^2\,2r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^{\frac12}(2r-8r^2+8r^3)\,dr$$$$\phantom V=\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\cdot\left[r^2-\frac83r^3+2r^4\right]_{r=0}^{r=\frac12}=2\pi\left(\frac14-\frac13+\frac18\right)=\frac{\pi}{12}$$

Das eingeschlossene Volumen ist also \(\frac{\pi}{12}\) Volumeneinheiten groß.

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, jedoch ist es mir noch nicht ganz klar, wieso zwei Flächen nur dann ein Volumen einschließen, wenn sie sich entlang einer Kurve schneiden. Ich kann ja auch zwei kugeloberflächen betrachten die eine mit Radius 1 und die andere mit Radius 2. Dann umschließt die Kugeloberfläche mit Radius 2 die andere. Wird dann nicht auch ein Volumen eingeschlossen?

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Und zudem ist mir auch noch nicht ganz klar, wie wir genau darauf kommen, dass sqrt(x^2+4y^2)=1 unsere Schnittkurve ist und wieso wir dann genau über sqrt(x^2+4y^2<= 1 integrieren müssen.

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Bei deinem Beispiel mit den beiden Kugeln musst du zur Volumenberechnung die Funktionsgleichung \(z^2=r^2-x^2-y^2\) über ein Gebiet in der \(xy\)-Ebene integrieren. Dieses findest du am einfachsten, indem du den Mittelpunkt der Kugel in den Ursprung legst und dann die Schnittkurve der Funktion mit der \(xy\)-Ebene bestimmst. Das Integrationsgebiet ist dann das Innere dieses Gebietes.

Das Problem bei solchen Aufgaben ist fast immer, das Integrationsgebiet und dann dafür eine passende Parametrisierung zu finden. Ich versuche immer die "Schnittkurven-Methode" zu verwenden. Das ist wie bei der Bestimmung der Fläche, die eine Funktion \(f(x)\) mit der \(x\)-Achse einschließt, auch hier integriert man von Schnittpunkt (Nullstelle) zu Schnittpunkt.

Answer 2

Die eine Fläche ist ein elliptisches Paraboloid, die andere ein elliptischer Kegel. Die beiden Flächen schneiden einander in der Ebene  z=2  in der Ellipse  mit

z = 2  ∧ x² + 4y² = 1.

Für das gesuchte Volumen müsste also gelten:

V =  |\( \int\ \)\( \int\ \)  (z₁(x,y) - z₂(x.y)) dx dy |

wobei über das Innengebiet der Ellipse  x² + 4y² = 1  , also über das Gebiet  mit

x² + 4y² ≤ 1  integriert werden muss.

Answer 3

Eine mögliche Lösung mit sehr einfachen Integralen beruht darauf, dass die Schnitte parallel zur x-y-Ebene durch die Flächen Ellipsen sind.

Vorgeplänkel:
Kurz zur Wiederholung die Gleichung einer Ellipse in der x-y-Ebene mit Mittelpunkt (0,0) und Halbachsen \(a>0, b> 0\):$$\left(\frac xa\right)^2 + \left(\frac yb\right)^2 = 1$$ Fläche einer solchen Ellipse: \(\pi ab\).

Hier ein Link zum rumprobieren.

Relative Lage von \(F_1\) und \(F_2\):
Beachte zunächst, dass die Fläche \(F_1: z = 1+x^2+4y^2\) erst bei \(z = 1\) beginnt, da \(1+x^2+4y^2 \geq 1\).

Man kann nun die Flächen als Ellipsen mit sich ändernden Hauptachsen schreiben:
$$F_1:\: z = 1+x^2+4y^2 \stackrel{z>1}{\Leftrightarrow} \left(\frac x{\sqrt{z-1}}\right)^2 + \left(\frac y{\frac{\sqrt{z-1}}2}\right)^2 = 1$$
$$F_2:\: z^2 = 4x^2+16y^2 \stackrel{z>0}{\Leftrightarrow}  \left(\frac x{\frac z2}\right)^2 + \left(\frac y{\frac z4}\right)^2 = 1$$
Für die Halbachsen gilt \(\sqrt{z-1} \leq \frac z2\), was man schnell per Quadrieren und Umstellen nachprüfen kann. Daher liegt \(F_1\) innerhalb des von \(F_2\) für \(0\leq z \leq 2\) umfassten Volumens.

Volumenberechnung:

Volumen des enthaltenen Körpers (erzeugt durch \(F_1\)):
$$V_1 = \int_{z=1}^2\underbrace{\pi \sqrt{z-1}\cdot \frac{\sqrt{z-1}}{2}}_{\pi ab} \; dz =\frac {\pi}4$$
Volumen des umfassenden Körpers (erzeugt durch \(F_2\)):
$$V_2 = \int_{z=0}^2\underbrace{\pi \frac z2 \cdot \frac{z}{4}}_{\pi ab} \; dz =\frac {\pi}3$$
Eingeschlossenes Volumen:
$$\boxed{V = V_2 - V_1 = \frac {\pi}{12}}$$