Question

Was ist die erste Ableitung dieser gebrochen-rationalen Funktion?

g(x) = 1/x²+4/x

Answer 1

g(x) = 1/x^2 + 4/x
g(x) = x^{-2} + 4·x^{-1}

g'(x) = -2·x^{-3} - 4·x^{-2}
g'(x) = -2/x³ - 4/x²

Benutze https://www.ableitungsrechner.net/ zur Hilfe und Selbstkontrolle

Text erkannt:

\( \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right] \\ = & 4 \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\frac{1}{x}\right]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\frac{1}{x^{2}}\right] \\ =- & 4 \cdot \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[x]}{x^{2}}+(-2) x^{-3} \\ = & -\frac{4 \cdot 1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}} \\ = & -\frac{4}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}} \end{aligned} \)
Vereinfachen/umschreiben:
\( -\frac{4 x+2}{x^{3}} \)

Answer 2

g(x)=1/x²+4/x = x^-2+4*x^-1

g'(x)= (-2)*x^-3 + ?

? bekommst du selbst hin :)

In einfachen Worten:

Exponenten vorne multiplizieren, auf Vorzeichen dabei achten, dann beim Exponenten 1 abziehen

Beachte:

\(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\quad \frac{1}{x^3}=x^{-3}\quad \frac{1}{x^{55}}=x^{-55} \)

Schema ist vermutlich klar :)

Answer 3

1/x^2 = x^-2 -> -2*x^-3 = -2/x^3

4/x = 4*x^-1 -> 4*(-1)*x^-2 = -4/x^2

Answer 4

\(g(x) =  \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x}=\frac{1+4x}{x^2} \)

Ableitung mit der Quotientenregel:

\(u=1+4x\)    →     \(u´=4\)

\(v=x^2\)    →    \(v´=2x\)

\(g´(x) =\frac{4*x^2-(1+4x)*2x}{x^{4}}=\frac{4x-(1+4x)*2}{x^3}=\frac{-4x-2}{x^3}\)