Was ist denn wenn bei einer gebrochen rationalen Funktion der Zähler und der Nenner null sind?

Question

Aufgabe:

Was ist denn wenn bei einer gebrochen rationalen Funktion der Zähler und der Nenner null sind? Dann habe ich ja keine Polstelle oder? Wie nennt man das dann?

Problem/Ansatz:

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Wie nennt man das dann?

eine Definitionslücke.

Answer 1

Die Nullstellen des Zählers sind die Nullstellen der Funktion,
die des Nenners die Polstellen, an denen die Fkt. nicht definiert ist.

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Das ist eine völlig an der Frage ("Zähler UND Nenner 0") vorbeigehende Antwort

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Wie soll man die Angabe denn anders sinnvoll interpretieren?

Es kann doch nur um die Nullstellen gehen, was denn sonst?

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Die Nullstellen des Zählers sind die Nullstellen der Funktion, die des Nenners die Polstellen, an denen die Fkt. nicht definiert ist.

Das ist oft der Fall, aber nicht immer.

Z.B.

\(f(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-4)}\)

Nullstellen des Zählers: 2 und 3

Nullstellen des Nenners: 2 und 4

Nullstellen der Funktion: 3

Polstelle: 4

Fur x=2 ist f nicht definiert, aber es liegt eine hebbare Lücke vor.

Answer 2

Was ist denn wenn bei einer gebrochen rationalen Funktion der Zähler und der Nenner null sind? Dann habe ich ja keine Polstelle oder?

Du hast möglicherweise doch eine Polstelle.

Beispiel: Bei \( f(x)=\frac{x+2}{x^3+6x^2+12x+8} \) haben Zähler und Nenner die Nullstelle -2, und -2 ist hier Polstelle.

Das sieht man besser, wenn man den Bruch umschreibt zu \( f(x)=\frac{x+2}{(x+2)^3} \).

Answer 3

Wenn du sowohl im Zähler als auch im Nenner die gleiche Vielfachheit einer Nullstelle hast, hast du eine Definitionslücke und du kannst diese Nullstelle in ihrer Vielfachheit komplett kürzen.

Wenn du im Nenner eine höhere Vielfachheit einer Nullstelle wie im Zähler hast, dann hast du eine Polstelle und kannst die Nullstelle in der Vielfachheit im Zähler wegkürzen.

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Vlt. sollte man erst klarstellen, was damit gemeint ist:

Was ist denn wenn bei einer gebrochen rationalen Funktion der Zähler und der Nenner null sind?

So ganz klar scheint das nicht zu sein.