Bestimme die Gleichung und die Definitionsmenge

Question

Hallo!

Aufgabe: Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung:

Löse die folgenden Gleichungen. Bestimme jeweils die Defnitionsmengen.

A) \( \log _{2}(x)=\log _{3}(x) \)

Problem/Ansatz:

Wie soll ich hier vorgehen? Ich muss ja auf beiden Seiten die gleiche Basis erzeugen, damit ich die Gleichung lösen kann, aber wie mach‘ ich das? Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?

Answer 1

Verwende \(\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\).

Comments

Hier kann man die Lösung sehen.

x muss 1 sein wegen der verschiedenen Basen.

1 macht als Argument jeden log zu 0.

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Wie genau muss ich da vorgehen? Ich hab versucht log3(x) in log2(x) umzuformen, also log3(x)= \( \frac{log2(x)}{log2(3)} \), aber kann das so stimmen?

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Ja, das stimmt so. In die Gleichung einsetzen ergibt

        \( \log _{2}(x)=\frac{\log _{2}(x)}{\log _{2}(3)} \)

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Alles klar, dann ist log₂(3)=1 ?

Wie geht's dann weiter?

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dann ist log₂(3)=1 ?

Wie kommst du darauf?

Wie geht's dann weiter?

Die Gleichung

        \(\log _{2}(x)=\frac{\log _{2}(x)}{\log _{2}(3)} \)

mittels Äquivalenzumformungen lösen.

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Ja, das habe ich ja getan.

log₂(x) * log₂(3) = log₂(x)

log₂(3) = \( \frac{log2(x)}{log2(x)} \) = 1

Ist das so nicht richtig?

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log₂(x) * log₂(3) = log₂(x)

Diese Gleichung hast du durch log₂(x) geteilt.

Das ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn log₂(x)≠0 ist.

Du musst noch den Fall untersuchen, dass log₂(x)=0 ist.

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das check ich noch nicht, wie muss ich das untersuchen? Die Definitionsmenge lautet ja x>0 → (0, unendlich)

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Der kommentierte Fall liegt in der Definitionsmenge, denn da gilt x=1.

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Wie ich schon gesagt habe:

Die Gleichung

         \(\log _{2}(x)=\frac{\log _{2}(x)}{\log _{2}(3)} \)

mittels Äquivalenzumformungen lösen.

Zum Beispiel:

\(\begin{aligned} \log_{2}(x) & =\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(3)} &  & |-\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(3)}\\ \log_{2}(x)-\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(3)} & =0\\ \log_{2}(x)\left(1-\frac{1}{\log_{2}(3)}\right) & =0 &  & |:\left(1-\frac{1}{\log_{2}(3)}\right)\\ \log_{2}(x) & =0 \end{aligned}\)

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Ja, aber dieses Ergebnis hilft uns ja auch nicht weiter, oder?

Als ergbnis kommt x=1 und wie komme ich von dieser Gleichung auf 1?

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Du solltest wissen, dass

a^0 = 1 für a > 0 sowie log_a(1) = 0 für a > 0

gilt.

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\(\begin{aligned} \log_{2}(x) & =0 &  & |\ 2^{\square}\\ 2^{\log_{2}\left(x\right)} & =2^{0}\\ x & =1 \end{aligned}\)

Answer 2

log2(x) = log3(x)

ln(x) / ln(2) = ln(x) / ln(3)

ln(3) * ln(x) = ln(2) * ln(x)

ln(3) * ln(x) - ln(2) * ln(x) = 0

(ln(3) - ln(2)) * ln(x) = 0

Satz vom Nullprodukt

ln(3) - ln(2) = 0 → Gibt definitiv keine Lösung

ln(x) = 0 → x = 1

Statt dem ln hätte man auch jeden anderen Logarithmus zu jeder beliebigen anderen Basis nehmen können.

Answer 3

Ich muss ja auf beiden Seiten die gleiche Basis erzeugen, damit ich die Gleichung lösen kann,

Nicht unbedingt. Die Graphen der Logarithmusfunktionen der verschiedensten Basen schneiden sich alle in nur einem gemeinsamen Punkt.

Answer 4

D = R+

x muss 1 werden, damit die log 0 werden und so übereinstimmen

Nur das Argument 1 führt zu einer Lösung bei verschiedenen Basen.

Comments

Aber wie kann ich das rechnerisch zeigen? Ich will auf beiden Seiten die gleiche Basis erzeugen, aber wie mach ich das?

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log_3(x) = log_2(x)/log_2(3)

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Aber wie kommt man auf x=1, wenn log2(x)=0 ist?

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Jede Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion mit der gleichen Basis.

wenn log₂(x)=0 ist

bedeutet sehr konkret, dass 2^0=x gilt.

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log_2(x) = 0

2^{log_2(x)} = 2^0

x = 1

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Achhhh, stimmmt, das hatte ich mir sogar mal notiert. Ich habe heute schon die ganze Zeit nach meinen alten Unterlagen gesucht, wo ich mir genau die Regel notiert hatte. Jetzt ist es viel verständlicher! Vieeeelen Dank an jeden einzelnen von euch!!