Grenzwertberechnung mit Taylor Theorem

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das folgende Limes:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\int \limits_{n}^{n+1} \sqrt{x} d x-n^{\frac{1}{2}}\right) \)

Problem/Ansatz:

Zuallererst hätte ich hier mal integriert, was auch nicht schwierig ist. Nun sollte man aber mit dem Taylor Theorem arbeiten, allerdings habe ich hier keine Ahnung wie ich das Taylor Polynom am besten bilde (also z.B. von welchem Teil des Ausdrucks, welche Entwicklungsstelle,…)

Answer 1

Meine Idee wäre: Nach dem Auswerten des Integrals

(Da entsteht ja  (2/3)(n+1)^(3/2) - (2/3)n^(3/2)

lässt sich doch f(x) = (2/3)x^(3/2) entwickeln an der Stelle x_o=n , dann

(vielleicht erst mal den Faktor 2/3 weglassen ? )

bekommt man f(n+1) = f(n) + f'(n)*1 + f''(n)/2 * 1  etc.

Damit könnte es gehen.

Answer 2

Also ohne Auswerten des Integrals könnte man Taylor wie folgt "hineinkrampfen":

Wir wissen ja laut Taylor (oder auch nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung), dass

$$ \int_n^{n+1} \sqrt x\: dx = \sqrt{\xi_n}(n+1 - n)= \sqrt{\xi_n}$$ $$\text{ mit } n<\xi_n < n+1$$ Daraus folgt $$ 0 < \int_n^{n+1} \sqrt x\: dx - \sqrt n < \sqrt{n+1} - \sqrt n = \frac 1{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$