Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir kennen die Koordinatendarstellung der Basis \(b'\) bezüglich der Basis \(b\):$$v'_1=v_1+v_2\implies\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\large b'}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\large b}\quad;\quad v'_2=v_2+v_3\implies\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\large b'}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\large b}$$$$v'_3=v_3+v_4\implies\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\large b'}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}_{\!\large b}\quad;\quad v'_4=v_4\implies\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\large b'}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\large b}$$Damit kennen wir auch die Basiswechselmatrix von \(b'\) nach \(b\):$$\mathrm{id}(b',b)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$
Auf analoge Weise können wir die Basiswechselmatrix von \(c'\) nach \(c\) angeben:$$\mathrm{id}(c',c)=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Die Determinanten beider Basisweschsel-Matrizen sind \(=1\), daher lässen sich die Transformationen von \(b'\) nach \(b\) bzw. von \(c'\) nach \(c\) eindeutig umkehren, sodass auch \(b'\) und \(c'\) Basen ihres jeweiligen Vektorraums sind.
Die gesuchten Abbildungsmatrizen kannst du nun leicht berechnent:$$M(f,b,c')=\mathrm{id}(c,\red {c'})\cdot M(f,b,\red c)=\left(\mathrm{id}(c',c)\right)^{-1}\cdot M(f,b,c)$$$$M(f,b',c)=M(f,\green{b},c)\cdot\mathrm{id}(\green{b'},b)$$$$M(f,b',c')=M(f,\green b,c')\cdot\mathrm{id}(\green{b'},b)$$
Den Spaß am Ausrechnen dieser Matrix-Produkte möchte ich dir nicht nehmen. Achte darauf, dass für die letzte Rechnung nicht die Matrix \(M(f,b,c)\) aus der Aufgabenstellung herangezogen wurde, sondern die Ergebnis-Matrix \(M(f,b,c')\) des ersten Basiswechsels.
