Vektorräume, Basiswechselmatrizen und darstellende Matrix direkt und indirekt mit Basiswechselsatz bestimmen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die beiden Vektorräume ℝ² und ℝ³, sowie die Mengen

$$B := \left\{\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\right\}, \quad C := \left\{\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\2\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}\right\}.$$

Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass B eine Basis des ℝ² und C eine Basis des ℝ³ ist.

1. Seien $$E := \left\{\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\right\}, \quad F := \left\{\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\right\},$$

die Standardbasen von ℝ² bzw. ℝ³. Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen $$\left[id_{\mathbb{R}^{2}}\right]_{B,E}$$ und $$\left[id_{\mathbb{R}^{3}}\right]_{F,C}.$$

Wir betrachten die Lineare Abbildung L : ℝ² → :ℝ³ gegeben durch $$\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2}\\-x_{2} \end{pmatrix}.$$

2. Bestimmen Sie die darstellende Matrix [L]_B,C einmal direkt und einmal mittels des Basiswechselsatzes

Problem/Ansatz:

Ich muss diese Aufgabe lösen. Leider habe ich keine Idee/Ansatzpunkt, wie ich das am Besten umsetze.

Über eine Lösung mit Erklärung, wie ich es wieso mache wäre ich sehr dankbar

Answer 1

Also \(\left[id_{\mathbb{R}^{2}}\right]_{B,E}\) verstehe ich so, dass man die

id-Bilder aus B mit der Basis E darstellen soll, dann gibt das

\(\left[id_{\mathbb{R}^{2}}\right]_{B,E}= \begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix}\)

\(\left[id_{\mathbb{R}^{3}}\right]_{F,C}\)  wäre dann die Inverse zu \(\left[id_{\mathbb{R}^{3}}\right]_{C,F}.\)

Also die Inverse von \( \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&2&1\\0 &-1&-1 \end{pmatrix}\)

Das wäre \( \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&1\\0 &-1&-2 \end{pmatrix}\).

" Matrix [L]B,C einmal direkt"   Also \( L(\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix})\) und \( L(\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix})\) bestimmen und mit der Basis C darstellen.