Darstellungsmatrizen und Basiswechselmatrizen

Question

Hallo, ihr lieben Mathematiker, ich habe folgende Aufgabe zum Üben gefunden und weiß nicht, damit umzugehen bzw. jegliche Lösungen zu finden:

Seien S = {s1, s2, s3} die Standardbasis und T = {t1, t2, t3} = {s1 + s2, s1 + s3, s2 + s3} Basen des R3. Sei weiter      U = {u1, u2, u3, u4} = {(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 0),(1, 0, 0, 1),(1, 0, 0, 0)}
eine Basis des R4. Sei φ : R3 → R4 definiert durch
φ (t1) = 2 u1 + u3 + u4,
φ (t2) = u1 + 2 u2 − u4,
φ (t3) = 2 u2 + u3 − 2 u4.
Berechnen Sie DU,T (φ) sowie DU,S(φ) unter Verwendung der Basiswechselmatrix
CT,S.

Meines Verständnisses nach kann D ja nur die Darstellungsmatrix sein. Ich bitte um Hilfe und natürlich auch viel Spaß.

Comments

Siehe auch

https://www.mathelounge.de/794519/basiswechsel-knd-darstellungsmatrix

Answer 1

Man vertut sich gerne bei dem Geschäft und ich werd auch nicht richtig schlau aus Deinen Angaben: Ich führe die Matrizennotation ein:

Basiswechsel von T nach S

\(\small _ST_T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\\\end{array}\right)\)

Basiswechsel von U nach S

\(\small _ST_U \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\end{array}\right)\)

Die Abbildung T nach U

({Φ t1 - {2 ,0,1,1},Φ t2 -{1,2 ,0,-1}, Φ t3 - {0,2 ,1, - 2 }})

LGS lösen

\(\small u\Phi\tau \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}\\0&0&2\\0&1&0\\1&0&-2\\\end{array}\right)\)

um nun die Abbildung von T nach s zu beschreiben, müsste man _ST_U nachschalten

\(\small s\Phi\tau \, = \, _ST_U \, uΦτ =  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{5}{2}&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}\\0&0&2\\0&1&0\\\end{array}\right)\)

usw....

Ich hoffe das stimmt so weit...