Aufgabe:
Sei \( E: \mathrm{e}_{1}(X):=1, \mathrm{e}_{2}(X):=X, \mathrm{e}_{3}(X):=X^{2}, \mathrm{e}_{4}(X):=X^{3} \) die Monombasis von Pol\( _{3} \mathbb{R} \). Sei ferner \( B: b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} \) die Basis mit \( { }_{B} \mathrm{id}_{E}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & -6 \\ 2 & 5 & 1 & -10 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \) und \( A:=\left(\begin{array}{cccc}4 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \\ -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \) die Abbildungsmatrix \( { }_{B} \rho_{B} \) der linearen Abbildung \( \rho: \operatorname{Pol}_{3} \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Pol}_{3} \mathbb{R} \) bezüglich der Basis \( B \).
(a) Bestimmen Sie \( b_{j}(X) \) für \( j \in\{1,2,3,4\} \).
(b) Bestimmen Sie \( \operatorname{det}(A) \) und entscheiden Sie, ob \( \rho \) injektiv/surjektiv/bijektiv ist.
(c) Bestimmen Sie \( { }_{E} \rho_{B} \) und \( { }_{E} \rho_{E} \).
Problem/Ansatz:
Ich fang bei a) an:
Wie komme ich auf die bj ? Komm nicht drauf, wie ich das machen muss bzw. der Zusammenhang ist mir nicht ganz klar.
