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Aufgabe:

komplexer ln


Problem/Ansatz:

Ich muss dieses Beispiel rechnen:

ln((1-i)6)-6ln(1-i)

ich komme nicht wirklich weiter. Ich weiß dass man die Hochzahl bei ln vorziehen kann und den arctan berechnen muss. Nur bin ich bisschen verwirrt, wie man mit dem 2kπ rechnet und unsicher wie oft ich das k anwenden muss. Ich bräuchte bisschen Hilfe bei der ganzen Rechnung.. wäre sehr nett:)

Avatar von

Hast du es schon mal mit \(\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)\) versucht?

Ich weiß dass man die Hochzahl bei ln vorziehen kann

Das ist allgemein falsch. Ich vermute, der didaktische Sinn dieser Aufgabe ist es Dir genau das klar zu machen.

Alles hängt aber von der bei Euch verwendeten Definition ab. Daher: Wie habt Ihr \(\ln(z)\) für komplexes z definiert?

2 Antworten

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Hallo

Du sagst ja selbst, man kann die 6 "vorziehen", dann tu das!

Dann ist egal welchen Zweig des ln du verwendest!

lul

Avatar von 108 k 🚀
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Der Sinn dieser Aufgabe ist zu erkennen, dass aufgrund der Mehrwertigkeit des komplexen Logarithmus liebgewonnene Eigenschaften des bekannte reellen Logarithmus leider nicht mehr ohne weiteres gelten.

Wenn das Symbol \(\ln z\) im Zusammenhang mit komplexen Zahlen \(z = re^{i\phi}\) auftaucht, ist üblicherweise der sogenannte Hauptwert gemeint, bei dem das Argument \(\phi\) im Intervall \((-\pi,\pi]\) liegt. Das im Hinterkopf legen wir los:

$$1-i = \sqrt 2 e^{-\frac{\pi}4i}$$ $$ \Rightarrow \ln (1-i) = \ln \sqrt 2 - \frac{\pi}4i = \frac 12\ln 2 - \frac{\pi}4i$$$$\Rightarrow 6\ln(1+i) = 3\ln 2 -\frac 32 \pi i = \ln 8 -\frac 32 \pi i$$

$$(1-i)^6 = \left(\sqrt 2 e^{-\frac{\pi}4i}\right)^6 = 8 e^{-\frac{3\pi}2 i} \stackrel{Hauptwert!}{=} 8 e^{-\frac{3\pi}2 i + 2\pi i} = 8 e^{\frac{\pi}2 i}$$

$$\Rightarrow \ln (1-i)^6 = \ln 8 + \frac{\pi}2 i$$

Insgesamt:

$$\Rightarrow \ln (1-i)^6 - 6\ln(1-i) = \boxed{\color{blue}{2\pi i}}$$

Avatar von 11 k

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