Der Sinn dieser Aufgabe ist zu erkennen, dass aufgrund der Mehrwertigkeit des komplexen Logarithmus liebgewonnene Eigenschaften des bekannte reellen Logarithmus leider nicht mehr ohne weiteres gelten.
Wenn das Symbol \(\ln z\) im Zusammenhang mit komplexen Zahlen \(z = re^{i\phi}\) auftaucht, ist üblicherweise der sogenannte Hauptwert gemeint, bei dem das Argument \(\phi\) im Intervall \((-\pi,\pi]\) liegt. Das im Hinterkopf legen wir los:
$$1-i = \sqrt 2 e^{-\frac{\pi}4i}$$ $$ \Rightarrow \ln (1-i) = \ln \sqrt 2 - \frac{\pi}4i = \frac 12\ln 2 - \frac{\pi}4i$$$$\Rightarrow 6\ln(1+i) = 3\ln 2 -\frac 32 \pi i = \ln 8 -\frac 32 \pi i$$
$$(1-i)^6 = \left(\sqrt 2 e^{-\frac{\pi}4i}\right)^6 = 8 e^{-\frac{3\pi}2 i} \stackrel{Hauptwert!}{=} 8 e^{-\frac{3\pi}2 i + 2\pi i} = 8 e^{\frac{\pi}2 i}$$
$$\Rightarrow \ln (1-i)^6 = \ln 8 + \frac{\pi}2 i$$
Insgesamt:
$$\Rightarrow \ln (1-i)^6 - 6\ln(1-i) = \boxed{\color{blue}{2\pi i}}$$
