Isomorphie zeigen mit Relation als Kern

Question

Hallo,

Ich habe als Äquivalenzrelation ~ für x,y∈R: x~y⇔ x² +4y = y² +4x

Nun muss ich die Isomorphie zeigen:

 ℝ[x]/ ~ ≅ [2, +∞) 

Ich weiß, dass ich mithilfe des Iso-Satzes zeigen muss, dass

1) ker f = ~     für die injektivität

2) im f =  [2, +∞)

Jedoch brache ich zuerst eine Abbildung f, die ich nicht finden kann. Abb f muss hierbei ein Homomorphismus sein, mit f: R[x] ->  [2, +∞)

Mein Problem besteht darin, keine geeignete Abbildungsvorschrift zu finden, sodass f ein Hom ist.

Gibt es hier und insgesamt einen Trick um das zu finden?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Mit \(\mathbb R[x]\) bezeichnet man üblicherweise den Polynomring über der Variablen \(x\) mit Koeffizienten in \(\mathbb R\). Ist das hier auch so gemeint?

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Ja, genau! :)

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Du benutzt x in zweierlei Bedeutung, einmal als
Element von R und in R[x] als Unbestimmte / Variable.
Am besten wäre es, wenn du uns die Originalaufgabe
zeigst.

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Bist Du noch an der Frage interessiert? Wenn ja, weisen die bisherigen Beiträge daraufhin, dass die Aufgabenstellung nicht klar ist. Also: Auf welcher Menge ist die Äquivalenzrelation definiert? Wie überträgt sich diese gegebenenfalls auf den Polynomring? Ist nach einer Isomorphie gefragt, das macht nur Sinn (nach meiner Kenntnis), wenn auf den beteiligten Mengen algebraische Strukturen vorliegen. Oder geht es nur um eine Bijektion?

Wie lautet der Original-Aufgabentext?

Answer 1

Hier ein Interpretations- / Korrekturversuch,

der sich an luls Antwort anlehnt:

Sei \(R\) die Menge der reellen Zahlen. Die Relation

\(\sim \; \subseteq R\times R\) sei definiert durch

\(x\sim y\iff x^2+4y=y^2+4x\iff (x-2)^2+2=(y-2)^2+2\).

Nun definiere man \(f:R\rightarrow [2,\infty)\) durch

\(f(x)=(x-2)^2+2\), dann gilt \(x\sim y\iff f(x)=f(y)\).

Daher ist \(F:\; R/\sim \; \rightarrow [2,\infty),\; [x]_{\sim}\mapsto f(x)\)

eine Bijektion, also ein Isomorphismus in der Kategorie der Mengen.

Comments

Dankeschön für eure/deine Bemühungen. Ich habe es mithilfe dieser Idee gelöst bekommen, ich war selbst etwas verwirrt...

Danke!

Answer 2

Hallo

schreibe das als x^2-4x+4=y^2-4y+4  benutze die binomische Formel und du siehst die Relation.

allerdings kann ich mit ℝ[x]/ ~ ≅ [2, +∞)  nichts anfangen

lul

Comments

ℝ[x]/ ~ ≅ [2, +∞) ist, dass R[x] modulo ~ soll isomorph zu der Menge [2, +∞) sein.

Danke für deinen Tipp :) !

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Was bedeutet hier Isomorphie? Einfach nur Existenz einer
Bijektion?