Aufgabe:
Sturm-Liouville: Eigenwerte und Eigenfunktionen des RWP berechnen
Problem/Ansatz:
Könnte jemand das Ergebnis prüfen? Insbesondere mit der Fallunterscheidung. Stimmt das mit 'λ =>< -1' jeweils?
Vorab vielen Dank und einen guten Rutsch!
Text erkannt:
"[ Berchnnen Sie alle Eigenwerte \( \lambda \in \mathbb{R} \) und
Eigenfunktionen y des Randwertproblems.
\( y^{\prime \prime}+(\lambda+1) y=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime}(1)=0 \)
- Exponentialansatz (für \( \lambda>-1 \) )
\( \begin{array}{l} r^{2}+(\lambda+1) r^{0}=0 \Leftrightarrow r^{2}=-(\lambda+1) \\ \Leftrightarrow r_{1 / 2}=\pm \sqrt{\lambda+1} i \quad \lambda_{1 / 2}=x \pm i \\ \end{array} \)
- Acly. Lösuny
\( \begin{array}{l} y(x)=c_{1} \cdot \cos (\sqrt{\lambda+1} x)+c_{2} \cdot \sin (\sqrt{\lambda+1} x) \\ y^{\prime}(x)=-c_{1} \cdot \sin (\sqrt{\lambda+1} x) \cdot \sqrt{\lambda+1}+c_{2} \cdot \cos (\sqrt{\lambda+1} x) \sqrt{\lambda+1} \end{array} \)
- RW einsetren
\( \begin{aligned} y^{\prime}(0) & =0 \Rightarrow-c_{1} \cdot \sin (0) \cdot \sqrt{\lambda+1}+c_{2} \cdot \cos (0) \sqrt{\lambda+1}=0 \\ & c_{2} \cdot \sqrt{\lambda+1}=0 \Rightarrow c_{2}=0, \text { du } \sqrt{\lambda+1} \neq 0, \\ y^{\prime}(1) & \vdots \\ = & \Rightarrow-c_{1} \cdot \sin (\sqrt{\lambda+1}) \sqrt{\lambda+1}+c_{2} \cdot \cos (\sqrt{\lambda+1}) \sqrt{\lambda+1}=0 \\ & -c_{1} \cdot \sin (\sqrt{\lambda+1})=0 \end{aligned} \)
Für eine nicht-triviale Losuny, ist \( C_{1} \neq 0 \), daman folgt, duss \( \sin (\sqrt{\lambda+1}) \doteq 0 \)
Fir \( \sqrt{\lambda+1} \) gilt also: \( \sqrt{\lambda+1}=\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
\( \lambda_{k} \quad=\pi^{2} k^{2}-1, k \in \mathbb{N} \)
\( y(x)=\left\{\begin{array}{ll} c_{1} \cdot \cos (\sqrt{\lambda+1} x), & \lambda=\lambda_{k}(>-1 !) \\ c_{2} \in \mathbb{R}, & \lambda=-1 \\ 0 & \lambda>-1, \lambda \neq \lambda_{k} \\ 0 & \lambda<-1 \end{array}\right. \)
a \( \lambda<-1 \Rightarrow \ldots \Rightarrow y(x)=0 \)
