Für welche Werte besitzt das RWP eine Lösung?

Question

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übungsblatt 3
Auf 6
Für welche Werte von \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta \in \mathbb{R} \) besitzt das Randwertproblem
\( \begin{array}{l} y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0 \\ y(0)=\alpha_{1}, \quad y^{\prime}(0)=\alpha_{2}, \quad y(1)=\beta \end{array} \)
eine eindeutige Lösung?
-Charakteristische Gleichceng:
\( \lambda^{3}-\lambda^{2}+4 \lambda-4=0 \)
(1) Vullstellen raten: \( \lambda_{1}=1 \)
(2) Polynomdivision
- Fundamentulbosis:
\( y_{1}=e^{x}, y_{2}=\sin (2 x), y_{3}=\cos (2 x) \)
- Allg. Loisung:
\( \begin{array}{l} y(x)=c_{1} \cdot e^{x}+c_{2} \cdot \sin (2 x)+c_{3} \cos (2 x) \\ y^{\prime}(x)=c_{1} \cdot e^{x}+2 c_{2} \cdot \sin (2 x)+2 c_{3} \cdot \cos (2 x) \end{array} \)

Aufgabe:

Für welche Werte besitzt das RWP eine Lösung?

Problem/Ansatz:

Wie kann ich auf Basis der allg. Lösung die Werte für α1, α2, β ermitteln?

Answer 1

Zunächst muss du \(y'(x)\) korrigieren:

\(y'(x) = c_1 e^x +2c_2 \cos(2x) - 2c_3\sin(2x)\)

Berechne

\(y(0) = c_1 + c_3 \stackrel{!}{=} \alpha_1\)

\(y'(0) = c_1 + 2c_2 \stackrel{!}{=} \alpha_2\)

\(y(1) = c_1 e + c_2 \sin 2 + c_3 \cos 2 \stackrel{!}{=} \beta\)

Das ist ein lineares Gleichungssysstem in den Variablen \(c_1, c_2, c_3\) mit der Koeffizientenmatrix

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0  \\e & \sin(2) & \cos(2) \end{pmatrix}$$

Die ist invertierbar und somit gibt es für beliebige \(\alpha_1, \alpha_2, \beta \) jeweils eine eindeutige Lösung.