Aufgabe:
Die Entwicklung einer Bakterienart in einer Nährlösung soll modellmäßig untersucht werden. Dabei wird die Bakterienanzahl in Mengeneinheiten (ME) angegeben. In einem Modell wird exponentielles Wachstum mit der Funktion \( \mathrm{f} \) mit
\( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{k} \cdot \mathrm{x}} \quad \text { mit } \mathrm{x} \in \mathbb{R} \text { und } \mathrm{x} \geq 0 \)
angenommen. Dabei wird \( x \) in Stunden und \( f(x) \) in ME angegeben.
Eine Messung ergibt, dass zu Beginn der Beobachtung 120 ME und nach vier Stunden 360 ME Bakterien vorhanden sind.
a) Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und \( \mathrm{k} \) mithilfe der Daten und geben Sie die zugehörige Funktion fan.
\( \text { (Kontrollergebnis: } \mathrm{a}=120 \text { und } \mathrm{k}=\frac{\ln (3)}{4} \text { ) } \)
b) Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung von f geschrieben werden kann als \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=120 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot \mathrm{x}} \)
c) Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach sieben Stunden
d) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem 6000 ME Bakterien vorhanden sind.
e) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem die momentane Zuwachsrate 120 ME Bakterien pro Stunde beträgt.
Problem/Ansatz:
Guten Tag. Ich habe mich an der Aufgabe sehr oft versucht, aber lediglich b), c) und d) geschafft. Bei a) und e) habe ich Probleme. Mein Ansatz für a) ist: Anfangsbestand: 120 und Wachstumskonstante: 3. Allerdings habe ich dazu nicht die richtige rechnerische Bestimmung, die fehlt mir. Bei e) fehlt mir der Ansatz im Allgemeinen. Ich bin über jede Hilfe dankbar. Vielen Dank im Voraus
