Quadratische Matrix mit Rang = n, bei der alle Einträge auf der Hauptdiagonalen 1 sind.

Question

Aufgabe:

Sei \( A=\left(a_{i j}\right)_{i j} \in \operatorname{Mat}_{n, n}(\mathbb{R}) \) derart, dass \( a_{11}=a_{22}=\ldots=a_{n n}=1 \) und \( \sum \limits_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n}\left|a_{i j}\right|<1 \quad \) für alle \( 1 \leq i \leq n \).
Zeigen Sie, dass \( A \) den Rang \( n \) hat.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich stehe leider so auf dem Schlauch bei dieser Aufgabe, ich habe schon Induktion probiert, Elementare Zeilenumformungen und den Satz von Gerschgorin, welchen wir nicht verwenden dürfen, aber noch nicht in der Vorlesung behandelt haben.

Da ich zu dieser Aufgabe online bisher nichts gefunden habe, wäre es cool wenn vielleicht irgendjemand die Lösung dieser Aufgabe posten würde.

Danke und happy new year!

Comments

Es wäre gut, wenn du kurz angeben könntest, in welchem Kontext die Aufgabe gestellt wurde.

Was habt ihr gerade behandelt?
Hatte ihr außerdem schon Eigenwerte und Determinanten?

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Nein wir haben Determinante und Eigenverte noch nicht definiert. Wir haben gerade das Thema Basiswechsel

Answer 1

Hallo,

eine Möglichkeit ist zu zeigen, dass der Kern von A nur den Null-Vektor enthält. Dazu sei also \(Ax=0\) mit \(x \neq 0\). Wähle ein k mit \(|x_k|=\max\{|x_i \mid i=1, \ldots,n\}\). Dann gilt

$$0=(Ax)_k \Rightarrow x_k=a_{kk}x_k=-\sum_{j \neq k}a_{kj}x_j \Rightarrow |x_k| \leq \sum_{j \neq k}|a_{kj}||x_j| \leq  \sum_{j \neq k}|a_{kj}||x_k| <|x_k|$$

Dies ist ein Widerspruch.

Comments

Ich danke dir vielmals, ich habe gerade noch Schwierígkeiten nachzuvollziehen, warum x_{k} = a_{kk} x_{k} = - \( \sum\limits_{j≠k}^{n}{a_{kj}x_{j}} \) gilt.

Kannst du mir da vielleicht noch eine kurze erklärung zu geben?

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Das erste Gleichheitszeichen folgt, weil a_kk gleich 1 ist. Für das zweite habe ich die k-te Zeile des Gleichungssystems Ax=0 nach dem " Diagonalterm" \(a_{kk}x_k\) aufgelöst.

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Danke dir vielmals! Man hätte es bestimmt auch mit Determinanten beweisen können, oder?