Zerfall Exponential Funktionen

Question

Aufgabe:

Ein Narkosemedikament hat eine Halbwertzeit von 40 Minuten und wird mit der Anfangsmenge M₀ gespritzt.

b)Dücken Sie den Medikamentenabbau in Prozent pro Minute aus und berechnen Sie, wie viel
 Prozent des Narkosemedikaments nach 20 Minuten noch vorhanden ist.

Problem/Ansatz:

Ich bereite mich gerade auf einen Test am morgigen Tag vor, jedoch finde ich keine passende Antwort im Internet.

deshalb ist meine Frage, wie ich dies lösen kann.

Ergebnis soll 1,7% betragen.

Danke im Voraus

RyzQr

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Alle \(40\) Minunten halbiert sich die Wirkstoffmenge:$$M(t)=M_0\cdot\left(\frac12\right)^{\frac{t}{40}}$$

Nach \(t=1\) Minute haben wir noch$$\left(\frac12\right)^{\frac{1}{40}}\approx0,9828=98,28\%$$des Wirkstoffs, also gehen pro Minute \(1,72\%\) an Wirkstoff verloren.

Nach \(t=20\) Minunten haben wir noch$$\left(\frac12\right)^{\frac{20}{40}}=\left(\frac12\right)^{\frac12}=\sqrt{\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0,7071=70,71\%$$an Wirkstoffmenge übrig.

Comments

Vielen Dank.

Ihr beide habt mir echt geholfen!

Schönen Abend

RyzQr

Answer 2

Du brauchst ja erstmal eine Funktion die dir das beschreibt.

Du hast ja M(t=0)=M₀

und M(t=40)=M₀/2

Heißt also die Funktion die dir diesen Sachverhalt anzeigt ist:

M(t)=M₀* 0,5^t/40

(Wie kommt man drauf? Es halbiert sich ja -> also 0,5 als Basis. Da die Halbierung aber erst nach 40 Minuten ist, musst du noch im Exponenten durch 40 teilen (damit du dann bei 40 min 0,5¹ hast). Und dann noch der Anfangswert damit du bei t=0 auch bei M₀ startest)

Das ist jetzt erstmal deine Funktion für die Absolutwerte

Um auf die Prozente zu kommen musst du erstmal das M₀ weglassen. Dann startest du bei 1 und wirst immer weniger. Zu den Prozenten kommst du, wenn du mal 100 rechnest. Startwert ist also 100% -> nach 40 Minuten dann 50% etc

Comments

Danke erstmal.

Könnte man als Funktion ebenfalls M₀  ·  (\( \sqrt[40]{0,5} \) )^t nehmen?

Jedoch verstehe ich nicht ganz wie ich nun die einzige Minute in einen Prozentwert umrechnen kann.

q ≈ 1 - p · 10^-2=> 0,983 ≈ 1 - p · 10^-2 => p ≈ 1,7% 

So hat er es gemacht, ich kann diesen Weg aber überhaupt nicht nachvollziehen, denn wie kann man diese Formel anwenden ohne einen Prozentsatz zu haben.

Wäre sehr nett, wenn ich das vielleicht noch erklärt bekommen könnte ;)

Danke im Voraus

RyzQr

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Ja, geht. Denn 0,5^t/40 = 0,5^{1/40 * t} also mit Potenzgesetz

(0,5^1/40)^t und irgendwas hoch 1/n ist gleich die Wurzel aus n

Und deine 2. Frage wurde unten schon beantwortet. Einfach für t=1 einsetzen und dann gucken, was dir zur 100 fehlt

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Auch an dich großes Danke ;)

Habt mir echt geholfen, eigentlich echt simple. Stand wohl sehr auf der Leitung

Angenehmen Abend noch

RyzQr