Folgt die Stetigkeit?

Question

Aufgabe:

Sei D ⊆ R, f : D → R, a ∈ D. Untersuchen Sie (Nachweis oder Gegenbeispiel), aus welchen der folgenden Bedingungen die Stetigkeit von f in a folgt.

(a) ∀ε > 0 ∀δ > 0 ∃ x ∈ D: |x − a| < δ und |f(x) − f(a)| < ε.
(b) ∀α ∈ (0, 1) ∃ β > 0: |f(x) − f(a)| ≤ α für alle x ∈ D mit |x − a| ≤ β.
(c) ∀δ > 0 ∀ε > 0: |f(x) − f(a)| < ε für alle x ∈ D mit |x − a| < δ.

Problem/Ansatz:

Im Prinzip muss ich ja nur eine Äquivalenz zu:

     Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass | f (x)− f (p)| < ε für alle x ∈D mit |x− p| < δ .

zeigen.

Nur leider weiß ich nicht wie... Kann mir da jemand helfen? Ich denke, a) ist falsch und b) und c) sind wahr

Answer 1

∀ε > 0 ∀δ > 0 ∃ x ∈ D: |x − a| < δ und |f(x) − f(a)| < ε.

Betrachte die sign-Funktion an der Stelle a=0. Die ist

dort nicht stetig, aber für x=a ist die Bedingung oben erfüllt.

Comments

Danke für a)
 :)

Wüsstest du, wie man insbesondere c) beweist? Bei b) kann man ja zur Not nur die epsilons und deltas unbenennen

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Wenn es für alle ε und alle δ gilt, dann gibt es ja zu jedem ε ein

( sogar viele ) δ mit

|f(x) − f(a)| < ε für alle x ∈ D mit |x − a| < δ.

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Dankeschön ^^