Zeige, dass dann f=g

Question

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Hausaufgabe H.10.5
Es seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und \( \left.f\right|_{\mathbb{Q}}=\left.g\right|_{\mathbb{Q}} \). Zeige, dass dann \( f=g \).

Aufgabe:

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Was bedeutet der senkrechte Strich bei Q ?

Answer 1

Sei x∈ℝ.

1. Fall x∈ℚ. Da die Einschränkungen von f und g auf ℚ gleich sind,

gilt also f(x)=g(x).

2. Fall x∈ℝ\ℚ. Dann gibt es eine Folge (x_n)_n∈ℕ ∈ℚ^ℕ , die gegen x konvergiert.

Z.B. der nach der n-ten Nachkommastelle abgebrochene Dezimalbruch für x.

Da die Einschränkungen von f und g auf ℚ gleich sind, gilt für alle n∈ℕ

         f(x_n) = g(x_n) .

Und wegen der Stetigkeit gilt ja

 \(   \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n)=f(x)   \)  und \(  \lim\limits_{n \to \infty} g(x_n)=g(x)  \)

Und wegen \( f(x_n) = g(x_n) \)  gilt auch \(  \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n)=\lim\limits_{n \to \infty} g(x_n)  \)

also f(x)=g(x)   für alle x∈ℝ.

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Du brauchst keine Fallunterscheidung; denn auch jede
rationale Zahl ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen.