Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgende Funktion differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgende Funktion differenzierbar ist, und berechnen Sie die Ableitung:

\(f(X)= \frac{\cos x}{1 + e^{x}}\)

Problem/Ansatz:
Wie gehe ich hier vor bzw. was ist die Lösung?

Danke

Comments

Es handelt sich um den Quotienten aus 2 differenzierbaren Funktionen. Benutze die Quotientenregel oder eventuell die Produktregel für

F(x)=cos(x)[1+exp(x)]^(-1)

Answer 1

Aloha :)

Wenn du mit den Ableitungsregeln die Ableitung bestimmen kannst, ist damit automatisch auch die Differenzierbarkeit der Funktion gezeigt. Daher reicht es hier aus, die Ableitung mit der Quotientenregel zu bestimmen. Die Quotientenregel lauet:$$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$$Diese wenden wir unseren Patienten an:$$f(x)=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u}}{\underbrace{1+e^x}_{=v}}\quad\implies$$$$f'(x)=\frac{\overbrace{(-\sin x)}^{=u'}\cdot\overbrace{(1+e^x)}^{=v}-\overbrace{\cos x}^{=u}\cdot\overbrace{e^x}^{=v'}}{\underbrace{(1+e^x)^2}_{=v^2}}=-\frac{\sin x}{1+e^x}-\frac{e^x\cos x}{(1+e^x)^2}$$

Comments

Hat sehr geholfe, danke :)

Answer 2

\(f(x)= \frac{cos x}{1 + e^{x}}\)

\(f´(x)= \frac{-sin x*(1 + e^{x})-cos(x)*e^{x}}{(1 + e^{x})^2}\)

Comments

Könnten Sie mir das bitte genauer erklären? Ich komme da nicht ganz weiter

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\(f(x)= \frac{cos x}{1 + e^{x}}\)

\(u=cos x\)    \(u´=-sin x\)

\(v=1 + e^{x}\)    \(v´=e^x\)

Ableitung mit der Quotientenregel:

\( \frac{u´*v-u*v´}{v^2} \)