Erneuter Wachstum von Salmonellen. Exponentieller Wachstum

Question

Aufgabe:

Um 12 Uhr erhält Ricarda den Auftrag, die Bakterien durch Wärmebehandlung abzutöten.
Dabei geht sie jedoch nicht sorgfältig genug vor, so dass 2% der Salmonellen überleben.
Wie lange wird es dauern, bis sich diese wieder auf den Bestand von 11 Uhr vermehrt
haben ?

 \(  \)\(\begin{array}{l} 12 \text { Uhr } \Rightarrow 4 \cdot(\sqrt[\infty]{2})^{240} \Rightarrow16384 \\ 4 \cdot(\sqrt[20]{2})^{240} \cdot 0,02 \cdot(\sqrt[20]{2})^{x} \Rightarrow 4 \cdot(\sqrt[20]{20})^{180} \\ \Rightarrow 2^{12} \cdot 0,02 \cdot(\sqrt[20]{2})^{x}=2^{9} \Rightarrow(\sqrt[20]{2})^{x}=6,25 \\ \Rightarrow x \approx 52,88 \text { minuten } \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Moin!

Es hapert ein wenig am Rechenweg, diesen Nachzuvollziehen.

Wieso haben wir in der ersten Zeile (\( \sqrt[20]{2} \))^t eingefügt, und wie sind daraus dann die weiteren Schritte entstanden. Woher kommt die 2¹² und die 2⁹.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Vielen Dank im Voraus!

RyzQr

Comments

In der Aufgabenstellung fehlen Angaben, aus der die Wachstumsrate der Bakterienpopulation ersichtlich ist.

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Oh, diese habe ich vergessen.

Hier der Nachtrag:

alle 20 min verdoppelt sich der Bestand

@oswald

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Bitte verwende den Pfeil \(\Rightarrow\) nicht. Er ist dazu gedacht, Aussagen miteinander zu verknüpfen. \(12 \text { Uhr }\) und \(4 \cdot(\sqrt[\infty]{2})^{240}\) sind keine Aussagen. Also gehört dazwischen kein \(\Rightarrow\).

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Okay, danke für die Korrektur!

Könnten Sie mir vielleicht bei der Aufgabe weiterhelfen?

Verstehe den Rechenweg nämlich gar nicht. danke

Answer 1

Anfangsbestand \(4\) um 8:00 Uhr (\(x=0\)).

Verdopplung passiert alle 20 Minuten \(\Rightarrow\) Wachstumsfaktor ist \(\sqrt[20]{2}\).

Das ergibt die Funktionsgleichung

        \(f(x) = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^x\)

für den Bestand \(f(x)\) an Bakterien nach \(x\) Minuten.

Bestand um 11:00 Uhr (\(x=180\)) ist dann

(1)      \(f(180) = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{180}\).

Bestand um 12:00 Uhr (\(x=240\)) ist

        \(f(240) = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{240}\).

Nach der Wärmebehandlung ist der Bestand

        \(f(240)\cdot 0{,}02 = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{240}\cdot 0{,}02\).

Dieser Bestand wird als neuer Anfangsbestand verwendet und \(x=0\) wird auf 12:00 Uhr gesetzt. Neue Funktionsgleichung ist dann

(2)      \(g(x) = \underbrace{4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{240}\cdot 0{,}02}_\text{neuer Anfangsbestand}\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^x\)

Laut Aufgabenstellung soll \(g(x) = f(180)\) sein. Deshalb gleichsetzen von (1) und (2). Dann bekommt man

        \(4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{240}\cdot 0{,}02\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^x = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{180}\).

Diese Gleichung muss gelöst werden.

Comments

Danke.

Ich denke ich hatte den Denkfehler, woher die (\( \sqrt[20]{2} \))^x kommt.

Jedoch wollen wir ja die Zeit ja in Erfahrung bringen, die es benötigt um auf den Bestand von 11 Uhr zu kommen, weshalb wir dies dann auflösen nach dem Exponenten.