Nun erscheinen mir b) und c) recht trivial. In anderen Beiträgen habe ich gelesen, dass es genügt das jeweilige Modulo erst nach dem Auflösen mit dem Gauß-Algorithmus anzuwenden.
Das geht sofern du dann bzgl des neuen Körpers auch nur elementare Zeilenumformungen angewendet hast.
Vielfache von Zeilen zu addieren und Zeilen zu tauschen ist nie ein Problem.
Wenn du aber eine Zeilen mit einem Skalar multiplizierst muss der ein Element des Körpers und dort auch eine Einheit sein
$$ \left(\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\\ 1&0&1\end{matrix}~\middle| ~\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix} \right) \sim \left(\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\\ 0&0&2\end{matrix}~\middle| ~\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix} \right) $$
Zuerst 3. Zeile + (-1) * 1. Zeile, dann 3. Zeile + (-1) * 2. Zeile
In \( \mathbb Q \) würdest du die letzte Zeile jetzt mit 1/2 multiplizieren. Im Körper Z/2Z ist 2 = 0 und somit nicht invertiertbar. insb kannst du die letzte Zeile niemals auf die Form (0 0 1 | 0) bringen wie in den anderen beiden Körpern. In Z/3Z musst du stattdessen mit dem multiplikativ inversen multiplizieren. Wegen \( 2 \cdot 2 \equiv 1 \mod(3) \) ist dieses 2.
