Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X²+Y² (kleiner gleich) 1?

Question

Aufgabe:

Wahrscheinlichkeit - gleichverteilte Zufallsvariable

Problem/Ansatz:

Seien X,Y zwei unabhängige, auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X²+Y² < (kleiner gleich) 1?

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich zur Lösung komme? Steh dabei leider auf der Leitung!

Vielen lieben Dank

LG

Comments

Mach dir mal eine Skizze.

Dann heißt die Frage anders ausgedrückt: Wie groß ist der Anteil der Fläche des Viertelkreises mit Radius 1 am Einheitsquadrat?

Answer 1

Teile die "günstige" Fläche durch die Gesamtfläche.

Answer 2

Hallo,

es gilt:$$\mathbb{P}(X^2+Y^2\leq 1)=\iint\limits_{\{(x,y)\in [0,1]^2 : x^2+y^2\leq 1\}}f(x,y)\, \mathrm{d}(x,y),$$ wobei \(f(x,y)\) die gemeinsame Dichte von \(X,Y\sim \mathcal{U}([0,1])\) ist. Bei Unabhängigkeit ist das einfach das Produkt der Randdichten \(f_X\cdot f_Y\). Dann kannst du geometrisch argumentieren oder Polarkoordinanten verwenden.