Lösung eines Integrals mit Hilfe einer Substitution. Ist die Substitution richtig?

Question

Ich habe bei der Integration durch Substitution ein Problem, bei dem ich nicht weiterkomme. Gegeben ist die Differen-tialgleichung …xy' = y - 2x - x^(y/x)

Division durch x liefert y' = y/x - 2 - e^(y/x)

Mit der Substitution y/x = u erhält man y' = u - 2 - eû

Aus u = y/x folgt y = xu und y' = u + xu' = u + x du / dx

Damit wird u - 2-eû = u + xu'

                       xu' = - 2 - eû

                         u'= - (2 + eû) / x

                 du / dx = - 1/x (2 + eû)

Separation du / (2 + eû) = - 1/x dx

Integration           Integral du / (2 + eû) = - Integral 1/x dx

Frau Dr. habil Lubov Vassilevskaya, Fulda, führt aus einer Liste von gelösten Integralen folgendes Integral zur Lösung ein:

                          Integral dx / (b + ce^(ax) = x / b - 1/ab ln(b + ce^(ax)

und erhält     1/2 ln eû / 2 + eû) = - lnx + ln C = ln (C/x)

Diesen Schritt verstehe ich nicht, Denn wenn ich einsetze b = 2, c = 1, ax = u, entsteht

das Integral            du / (2 + eû) = x / 2 - 1/2 ln(2 + eû)

also keine Übereinstimmung. Welchen Fehler habe ich gemach?

Herzlichen Dank bereits an dieser Stelle für eine Lösung!

Manfred Knapp

Comments

Der erste Rechenschritt "Division durch \(x\)" ist bereits falsch durchgeführt worden.

---

Lautet die DGL so:

xy' = y - 2x - x * \( e^{\frac{y}{x}} \)  ?

Deine Division durch x ist leider falsch.

---

Die Aufgabe stammt aus einer Veröffentlichung von Jörg Gayler und Professorin Lubov Vassilevskayay, Hochschule Fulda, mit dem Titel "Differentialgleichungen, Aufgaben mit Lösungen" Teil A8. Dort wird in der Tat die gegebene Differentialgleichung durch das in ihr enthaltene Glied x dividiert, was ich durchaus akzeptiere. Schau dir das doch bitte mal an, dann siehst du, dass das Problem nicht an dieser Stelle, sondern in der weiteren dort vorhandenen Ausarbeitung auftaucht, wo offenbar zur Erleichterung ein Integral aus einer Liste verwendet wird, ohne die Methode darzulegen, wie dieses Musterintegral (so nenne ich es) die Lösung herbeiführt.

Gruß Manfred

---

Hallo,

Die Division durch x ist richtig, ich meinte mit meiner Bemerkung, das Du hier einen kleinen

Schreibfehler getan hast:

xy' = y - 2x - x^(y/x)

Du hast das e hoch versehentlich vergessen, also

xy' = y - 2x - x *e^(y/x)

Zu Deiner Frage: Wenn man (6) anwendet ,

\( \int \frac{d x}{b+c e^{a x}}=\frac{x}{b}-\frac{1}{a b} \ln \left(b+c e^{a x}\right) \)

bekommt man nicht das angegebene Ergebnis.

Man muß noch einen kleinen Trick (Potenzgesetz) anwenden:

---

Alles klar! Vielen Dank!

Manfred

Answer 1

Hallo

ich hab keine Lust das Integral von Frau Dr. habil Lubov Vassilevskaya nachzurechnen- warum löst du nicht selbst mit der Substitution 2+e^u=y ; dy=e^u du und damit das Integral  über  1/((y-2)*y) das man mit Partialbruchzerlegung  lösen kann

ausserdem gibt es den Integralrechner.de, der dir auch den Rechenweg zeigt.

Das Integral ist noch richtig, das danach 1/2 ln eû / 2 + eû) = - lnx + ln C = ln (C/x) verstehe ich nicht  oder es ist falsch aufgeschrieben,

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Falls die Aufgabe so lautet:

Berechnung des Integrales (extra ausführlich):

Comments

Danke, ich werde deinen Lösungsgang akribisch durcharbeiten

Manfred