Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen. Stellen Sie das Taylorpolynom auf. Bestimmen Sie eine Näherung.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 6: höhere Ableitungen und Taylorpolynom
a) Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen von der Funktion \( f(x)=\sqrt{x+1} \).
b) Stellen Sie das Taylorpolynom \( p_{3}(x) \) vom Grad 3 (d.h. Entwicklung bis \( x^{3} \) ) für die Funktion \( f(x)=\sqrt{x+1} \) auf. Verwenden Sie als Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \).
c) Bestimmen Sie anschließend eine Näherung für \( \sqrt{1,5} \) indem Sie \( p_{3}(0,5) \) berechnen.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Comments

Die ersten 3 Ableitungen kannst Du aber doch berechnen - oder?

Answer 1

Was bereitet dir Probleme? Die Ableitungen oder das einsetzen in die Taylor-Formel.

Benutze z.B. https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=series+sqrt%5C%2840%29x%2B1%5C%2841%29 um ein Kontrollergebnis zu erhalten.

\( T(x) = 1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+\frac{x^{3}}{16}-\frac{5 x^{4}}{128}+\frac{7 x^{5}}{256}+O\left(x^{6}\right) \)

Achtung dieses ist ein höhergradiges Polynom. Es sollte aber nicht schwerfallen einfach nach x^3 das Polynom abzubrechen.