Folgen mit Grenzwert e

Question

Aufgabe: Folgern Sie, dass a = b gilt, wobei a = limn -> unendlich a(n). (Der gemeinsame Grenzwert ist die Eulersche Zahl e.)

Problem/Ansatz: Keinerlei Ahnung wie das zu machen ist. Der Verweis auf "e" hat mich auch eher irritiert als geholfen, da sie als solches noch nicht in unserer Vorlesung eingeführt wurde. Kann jemand einen Lösungsweg erläutern? Danke im voraus für jedwede Hilfe.

Answer 1

Das e ist doch wahrscheinlich als der Grenzwert von b_n definiert.

Also geht es hier nur darum zu zeigen, dass beide den gleichen Grenzwert haben.

Wende den binomischen Satz an:

\(  (1+\frac{1}{n})^n = 1^n + \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}\cdot 1^{n-1}\cdot \frac{1}{n}+ \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}\cdot 1^{n-2}\cdot \frac{1}{n^2} + \dots +  \frac{1}{n^n} \)

\(   = \sum\limits_{k=0}^n  \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{n^k}\)

Für die Binomialkoeffizienten verwende

\(    \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} = \frac{n\cdot(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}  \)

Das gibt dann

\(  = \sum\limits_{k=0}^n  \frac{n\cdot(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}  \cdot \frac{1}{n^k} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{n\cdot(n-1)\dots(n-k+1)}{n^k}  \cdot \frac{1}{k!}\)

Für n gegen unendlich gehen die Brüche vor \( \frac{1}{k!}\) alle gegen 1 , also

bleibt \(   \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \)

Comments

selbst wenn   alle gegen 1   stimmen würde, wäre die Argumentation falsch, wie das Gegenbeispiel \( \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{n}{(1-\frac{k}{ln\; n})·\frac{1}{k^2}} \neq \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}\)  zeigt.