Berechnen Sie für f(x) = √2 + x die Taylorpolynome 2. und 4. Grades

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für \( f(x)=\sqrt{ } 2+x \) die Taylorpolynome 2. und 4. Grades mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \). Bestimmen Sie dazu zunächst die \( n \)-te Ableitung von \( f \). Schätzen Sie den Approximationsfehler des Taylorpolynom 2. Grades für \( |x|<\frac{1}{2} \) ab.

Problem/Ansatz:

Ich brauche hilfe bei dieser Aufgabe. Leider habe ich keine Idee/Ansatzpunkt, wie ich das am Besten umsetze. Über eine Lösung mit Erklärung, wie ich es wieso mache wäre ich sehr dankbar

Answer 1

Wird wohl so sein:  \( f(x)=\sqrt{  2+x } =  (2+x)^\frac{1}{2}\)

==>    \( f'(x)=  \frac{1}{2}(2+x)^\frac{-1}{2}\)

==>    \( f''(x)=  \frac{-1}{2}\cdot\frac{1}{2}(2+x)^\frac{-3}{2}=  \frac{-1}{4}(2+x)^\frac{-3}{2}\)

==>    \( f'''(x)=  \frac{-3}{2}\cdot\frac{-1}{4}(2+x)^\frac{-5}{2}=  \frac{-3}{8}(2+x)^\frac{-5}{2}\)

==>    \( f^{(4)}(x)=  \frac{-5}{2}\cdot \frac{-3}{8}(2+x)^\frac{-7}{2}=  \frac{15}{16}(2+x)^\frac{-7}{2}\)

2. Grades also so

\(   T_2(x)= f(0)+f'(0)\cdot x + \frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2 \)

\(       =\sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot x - \frac{1}{16\sqrt{2}}\cdot x^2 \)