Da die Umkehrabbildung \(f^{-1}:W\rightarrow V\) existiert und
ebenfalls ein Vektorraum-Isomorphismus ist, reicht es,
nur die Richtung "\(\Rightarrow\)" zu beweisen.
Sei also \(S\) ein Erzeugendensystem von \(V\) und
\(w\in W\), dann ist \(f^{-1}(w)\in V\).
Daher gibt es endlich viele \(s\in S\) und \(c_s\in K\), so dass
\(f^{-1}(w)=\sum c_s s\), folglich ist
\(w=f(\sum c_s s)=\sum c_s f(s)\), d.h.
\(w\) ist endliche Linearkombination von Elementen aus \(f(S)\).
