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Aufgabe:


Es sei f: V→W ein Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen V und W über IK und S⊂V.

Beweisen sie: S ist ein Erzeugendensystem ⇔ f(S) ist ein Erzeugendensystem

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht so ganz wie ich das zeigen soll...

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Da die Umkehrabbildung \(f^{-1}:W\rightarrow V\) existiert und

ebenfalls ein Vektorraum-Isomorphismus ist, reicht es,

nur die Richtung "\(\Rightarrow\)" zu beweisen.

Sei also \(S\) ein Erzeugendensystem von \(V\) und

\(w\in W\), dann ist \(f^{-1}(w)\in V\).

Daher gibt es endlich viele \(s\in S\) und \(c_s\in K\), so dass

\(f^{-1}(w)=\sum c_s s\), folglich ist

\(w=f(\sum c_s s)=\sum c_s f(s)\), d.h.

\(w\) ist endliche Linearkombination von Elementen aus \(f(S)\).

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