Berechnen Sie für f(x) = √2 + x die Taylorpolynome 2. und 4. Grades

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für $f(x)=\sqrt{ } 2+x$ die Taylorpolynome 2. und 4. Grades mit Entwicklungspunkt $x_{0}=0$. Bestimmen Sie dazu zunächst die $n$-te Ableitung von $f$. Schätzen Sie den Approximationsfehler des Taylorpolynom 2. Grades für $|x|<\frac{1}{2}$ ab.

Problem/Ansatz:

Ich brauche hilfe bei dieser Aufgabe. Leider habe ich keine Idee/Ansatzpunkt, wie ich das am Besten umsetze. Über eine Lösung mit Erklärung, wie ich es wieso mache wäre ich sehr dankbar

Answer 1

Wird wohl so sein:  $f(x)=\sqrt{ 2+x } = (2+x)^\frac{1}{2}$

==>    $f'(x)= \frac{1}{2}(2+x)^\frac{-1}{2}$

==>    $f''(x)= \frac{-1}{2}\cdot\frac{1}{2}(2+x)^\frac{-3}{2}= \frac{-1}{4}(2+x)^\frac{-3}{2}$

==>    $f'''(x)= \frac{-3}{2}\cdot\frac{-1}{4}(2+x)^\frac{-5}{2}= \frac{-3}{8}(2+x)^\frac{-5}{2}$

==>    $f^{(4)}(x)= \frac{-5}{2}\cdot \frac{-3}{8}(2+x)^\frac{-7}{2}= \frac{15}{16}(2+x)^\frac{-7}{2}$

2. Grades also so

$T_2(x)= f(0)+f'(0)\cdot x + \frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2$

$=\sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot x - \frac{1}{16\sqrt{2}}\cdot x^2$