Integral wo liegt der Fehler?

Question

Aufgabe:

\( y=\int \limits_{1}^{9} \frac{(\sqrt{x}-1)^{3}}{\sqrt{x}} d x \)

Problem/Ansatz:

Servus,

ich bin hier am ende auf

1/4 * ( 9^1/2 - 1)^4   -   1/4*(1^1/2-1)^4    = 4 gekommen.

Das Ergebnis muss aber 8 sein. Wo habe ich den Fehler ?

Wäre dankbar über die Hilfe :)

Text erkannt:

\( y=\int \limits_{1}^{9} \frac{(\sqrt{x}-1)^{3}}{\sqrt{x}} d x \)

Comments

Ein Tool mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Man könnte das Binom ausmultiplizieren, Teilbrüche bilden und einzeln integrieren.

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Die Ableitung von √x ist nicht 1/√x sondern 1/(2·√x) .

Answer 1

1/4 * ( 9¹/2 - 1)⁴ - 1/4*(1¹/2-1)⁴   = 4

Das stimmt nicht. Das sind \(\frac{75}{2}\).

Das Ergebnis muss aber 8 sein.

Das stimmt.

Wo habe ich den Fehler ?

Irgendwo zwischen

      \(\int \limits_{1}^{9} \frac{(\sqrt{x}-1)^{3}}{\sqrt{x}} d x \)

und

        1/4 * ( 9¹/2 - 1)⁴ - 1/4*(1¹/2-1)⁴.

Answer 2

Zunächst bilden wir nur die Stammfunktion über das unbestimmte Integral

∫ (√x - 1)^3/√x dx

Subst. z = √x mit 1 dz = 1/(2·√x) dx → dx = 2·√x dz

= ∫ (z - 1)^3/√x 2·√x dz

= ∫ 2·(z - 1)^3 dz

= 1/2·(z - 1)^4 + C

Resubst.

= 1/2·(√x - 1)^4 + C

Jetzt berechnen wir das bestimmte Integral

∫ (1 bis 9) (√x - 1)^3/√x dx = 1/2·(√9 - 1)^4 - 1/2·(√1 - 1)^4 = 8

Wie du sehen kannst war der Faktor 1/4 in ddeiner Stammfunktion verkehrt.

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